Identificación de la rigidez espacialmente incierta de una viga en voladizo - El lago de los cisnes Co., Ltd de Shijiazhuang

Scientific Reports volumen 13, Número de artículo: 1169 (2023) Citar este artículo

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Este estudio identifica rigideces no homogéneas de manera no destructiva a partir de mediciones con ruido simulado de una respuesta estructural. El método de elementos finitos sirve como discretización para los respectivos problemas de ejemplo de vigas en voladizo: carga estática y análisis modal. Las expansiones de Karhunen-Loève representan los campos aleatorios de rigidez. Resolvemos los problemas inversos utilizando la inferencia bayesiana sobre los coeficientes de Karhunen-Loève, introduciendo así un nuevo método de frecuencia de resonancia. Las descripciones flexibles tanto de la incertidumbre de la rigidez estructural como de las características del ruido de medición permiten una adopción sencilla para configuraciones de medición y una variedad de materiales no homogéneos. La evaluación del rendimiento de la inversión para funciones de covarianza de rigidez variable muestra que el procedimiento de análisis estático supera al procedimiento de análisis modal en un sentido medio. Sin embargo, la calidad de la solución depende de la posición dentro de la viga para el enfoque de análisis estático, mientras que la altura del intervalo de confianza permanece constante a lo largo de la viga para el análisis modal. Una investigación del efecto de la relación señal-ruido revela que el procedimiento de carga estática produce menos errores que el procedimiento dinámico para la configuración elegida con condiciones de contorno ideales.

Los parámetros materiales se pueden identificar de varias maneras. Los métodos establecidos se pueden clasificar en métodos destructivos y no destructivos1. "Destructivo" implica que la muestra de medición, por ejemplo, experimentó deformaciones plásticas durante los ensayos de tracción y, por lo tanto, no cumple con los requisitos del producto después del ensayo, es decir, ya no puede cumplir el propósito original. A menudo, estas pruebas se llevan a cabo hasta que falla la muestra. Los métodos de prueba no destructivos ofrecen una forma de identificar los parámetros del material mientras la muestra conserva sus propiedades. Por lo tanto, estos métodos son populares para fines de control de calidad después del proceso de fabricación para garantizar ciertos requisitos.

Por un lado, los métodos dinámicos son populares para probar materiales de ingeniería. Las mediciones de impacto-eco o de transmisión utilizando ondas elásticas presentan métodos populares de régimen de alta frecuencia que evalúan el inicio de la onda2. Sin embargo, considerar los modos individuales de ondas ultrasónicas guiadas contiene más información3,4,5. En general, los enfoques de ajuste de ondas en el régimen de alta frecuencia siguen evolucionando6, donde destaca la utilización de la forma de onda completa7. En regímenes de frecuencias más bajas, se pueden utilizar ondas estacionarias. En este caso, el método de frecuencia de resonancia utiliza las frecuencias propias conectadas a los modos propios para la identificación de parámetros materiales o la detección de defectos8.

Por otra parte, los métodos estáticos pueden considerarse no destructivos cuando son reversibles y colocan la probeta en condiciones de carga elástica lineal. Las pruebas de indentación y las mediciones de deformación con galgas extensométricas se utilizan en procedimientos que operan a nivel de superficie, al igual que muchas técnicas de medición de desplazamiento. Dentro de este último, la correlación de imágenes digitales entre un estado de referencia y el estado deformado de un espécimen conduce a un campo de desplazamiento9, donde se pueden utilizar varias técnicas para capturar las respectivas imágenes10.

Las discontinuidades como defectos o grietas suelen ser las cantidades de interés para materiales nominalmente homogéneos11. Con materiales no homogéneos, la variación espacial local de las propiedades del material se introduce adicionalmente en el sistema12. Dependiendo de la severidad de la falta de homogeneidad, puede tener un efecto relevante en la respuesta del sistema. Este es ciertamente el caso de los materiales de ingeniería como la madera. La variación espacial de las propiedades del material se ha cuantificado para especímenes individuales13,14. Savvas et al.15 identifican la variación espacial de mesoescala de las propiedades del material dada la información a microescala. Sin embargo, no se dispone fácilmente de descripciones rigurosas del comportamiento espacial. Dada esta falta de datos, el procedimiento estándar es asumir una variación espacial aleatoria de las propiedades del material. Esta aleatoriedad espacial de las propiedades de los materiales se puede describir con la teoría de campos aleatorios, que se trata extensamente en la literatura16,17. Rasmussen y Williams18 popularizan esta teoría de la regresión, que Duvenaud19 generaliza. La integración de incertidumbres espaciales con el método de elementos finitos (FEM) está cubierta en la literatura20,21.

La incertidumbre espacial es, por tanto, compatible con las prácticas establecidas de cuantificación de la incertidumbre22. Sepahvand y Marburg23 demuestran esto para la propagación hacia adelante de la incertidumbre en la dinámica estructural al representar las propiedades de los materiales como campos aleatorios.

El conocimiento de las sensibilidades de las salidas del sistema con respecto a las entradas del sistema es valioso. Sin embargo, muchos métodos de ensayo no destructivos implican un problema inverso, como por ejemplo el estudio sobre imágenes de elasticidad realizado por Gokhale et al.24. Dado que las cantidades de interés, así como los parámetros medidos, están plagados de incertidumbres, un enfoque natural para la solución de los problemas inversos antes mencionados se encuentra en la inferencia bayesiana25,26,27.

La identificación de parámetros utilizando el marco bayesiano tiene dos ventajas principales sobre otros métodos. En primer lugar, cuando existen datos de prueba limitados sobre los parámetros, los métodos bayesianos nos brindan una herramienta óptima para cuantificar la incertidumbre28. Esto es crucial cuando se trata de costosos experimentos de ingeniería. El uso de modelos estadísticos frecuentistas clásicos para tales situaciones solo arroja resultados confiables cuando el número de puntos de datos es mayor que un número específico, en su mayoría 30, o cuando los datos siguen estrictamente una distribución normal29. Si no se cumplen estos criterios, no se puede confiar en que los resultados generados con estos métodos sean válidos o implican un mayor nivel de incertidumbre.

En segundo lugar, el marco bayesiano involucra información previa disponible sobre los parámetros que considera el modelo estadístico30. Esta información previa luego se actualiza con la información obtenida de las observaciones. Las fuentes disponibles de información previa pueden incluir datos primarios, literatura, bases de datos en línea e incluso el conocimiento de expertos. Este es un argumento sustancial para usar métodos bayesianos en aplicaciones de ingeniería, donde los datos pueden ser escasos pero la experiencia en parámetros es abundante.

Marzouk y Najm31 son pioneros en la aplicación de la inferencia bayesiana a cantidades de interés que varían espacialmente a través de la reducción de la dimensionalidad lograda por la expansión Karhunen-Loève (KL). Usan un sustituto para el modelo directo para reducir el costo computacional que se basa en Polynomial Chaos generalizado (gPC)21. El desacoplamiento de la discretización espacial del dominio computacional de la dimensionalidad aleatoria hace accesibles los problemas inversos que involucran sistemas más grandes.

Sun y You32 brindan una descripción general de las características de sensibilidad y daño relacionadas con el análisis modal en el contexto de las pruebas no destructivas. Cugnoni et al.33 realizan una identificación determinista de un modelo de material de placa compuesto utilizando la información combinada de frecuencias naturales y formas modales. Sepahvand y Marburg34,35 calculan los parámetros elásticos homogéneos de placas compuestas teniendo en cuenta la incertidumbre utilizando datos experimentales. Nótese la contribución de Desceliers et al.36, quienes calculan la rigidez de la viga no homogénea a partir de mediciones de respuesta de frecuencia utilizando una estimación de máxima verosimilitud. Batou y Soize37 consideran un modelo de material de campo aleatorio que emplea reducción del orden del modelo y estimación de máxima verosimilitud dadas funciones de respuesta de frecuencia. Mehrez et al.38 estiman el módulo de Young de una estructura compuesta en un conjunto de nodos con inferencia bayesiana y gPC usando funciones de respuesta de frecuencia adquiridas en esos nodos. Debruyne et al.39 aplican este procedimiento general a una estructura de panal.

Este estudio investiga la identificación de la flexibilidad estructural que varía espacialmente utilizando un método dinámico y estático. El método dinámico es un nuevo enfoque bayesiano de dimensionalidad reducida para identificar los parámetros elásticos de una estructura utilizando información de frecuencia de resonancia. El método estático sigue un esquema similar al de la investigación de Uribe et al.40, quienes reconstruyen los campos de rigidez dadas las observaciones de deflexión utilizando una versión modificada del marco de Marzouk y Najm31.

Para proporcionar comparabilidad e información sobre las ventajas respectivas de cada método, tanto el método dinámico como el estático utilizan la misma configuración, es decir, una viga en voladizo con una flexibilidad estructural que varía espacialmente. Las frecuencias propias marcan el punto de partida para la identificación de la flexibilidad dentro del método dinámico, mientras que las deflexiones conectadas a la carga estática sirven como datos para el método estático. Para cada método, se realiza una actualización bayesiana en un modelo de método de elementos finitos de la viga en voladizo con flexibilidad estructural desconocida, que se considera como una muestra de un campo aleatorio gaussiano a lo largo de la viga en voladizo. La expansión KL truncada representa esta flexibilidad que varía espacialmente, lo que da como resultado una descripción con una dimensionalidad aleatoria reducida. Debido a la configuración de inferencia bayesiana, la incertidumbre de la solución se puede comparar entre el enfoque dinámico y el estático.

Este documento está organizado de la siguiente manera: "Métodos" presenta campos aleatorios y problemas inversos, así como la configuración de inferencia bayesiana compartida entre los enfoques dinámico y estático. "Aplicación del procedimiento" describe la integración de los modelos de viga en voladizo dinámico y estático en el problema inverso, y luego los resultados numéricos se presentan en "Resultados y discusión". Tras la conclusión y una perspectiva sobre la investigación futura en "Conclusión", proporcionamos información adicional en el apéndice S1 en línea.

Este estudio considera la fluctuación aleatoria espacial de las propiedades de los materiales alrededor de un valor medio. La covarianza conectada y la representación por la expansión KL están cubiertas por "Conceptos preliminares" junto con el teorema de Bayes. "Procedimiento" trata la formulación del problema inverso y la integración de este último en la actualización bayesiana mediante la especificación del modelo de parametrización y error de medición pertinente a la viga en voladizo.

Junto con su valor medio, un campo aleatorio de segundo orden se caracteriza completamente por su función de covarianza. El kernel de covarianza \(Cov(t, t')\) es una función de las coordenadas de dos puntos \(t, t'\) dentro del dominio del campo, el intervalo acotado [0, L]. Este estudio considera núcleos semidefinidos continuos, simétricos y positivos, de modo que se puede utilizar la expansión KL.

Se pueden utilizar varias familias de funciones como funciones de covarianza. Adoptamos el kernel exponencial isotrópico de la literatura17. Es una función de la distancia euclidiana r y el parámetro de escala de longitud l como

donde \(\sigma ^2\) es la varianza18. Se elige porque existen soluciones analíticas al problema de valores propios conexos que facilitan la verificación de las implementaciones numéricas correspondientes41.

La expansión KL representa un campo aleatorio teniendo en cuenta la media \(\mu (t)\) del campo aleatorio y descomponiendo su función de covarianza. Este método utiliza funciones espaciales deterministas junto con coeficientes aleatorios \(\xi _i\) para la representación del campo aleatorio. Truncar la expansión KL después de s sumandos produce una aproximación del campo con una dimensionalidad espacial aleatoria finita42, tal que

donde \(\lambda _i\) son los valores propios y \(\varphi _i(t)\) son las funciones propias del operador de covarianza correspondiente42. Para obtener una ruta de muestra o realización del campo aleatorio, se debe extraer una muestra de su parametrización \(\varvec{\xi }\).

Si el parámetro material considerado sigue una distribución logarítmica normal en lugar de normal, las muestras generadas pueden simplemente ser exponenciadas. Sin embargo, la generalización de la expansión KL a campos aleatorios no gaussianos no es sencilla. En parte, esto se debe a que se inducen correlaciones entre los coeficientes aleatorios. Cuando las transformaciones de forma cerrada no están fácilmente disponibles, una distribución normal multivariante de dimensión completa puede presentar un remedio. Después de la transformación a [0, 1] utilizando la función de error gaussiana, se puede aplicar la función de distribución acumulativa inversa de una distribución arbitraria deseada. Las distribuciones marginales resultantes siguen las distribuciones prescritas y conservan la suavidad de la muestra en el dominio inherente a la estructura de correlación inicial, véase Vořechovský43.

Lo anterior describe la cantidad de interés, que ahora se declara como \(\varvec{\theta }\). A continuación se presenta la inferencia bayesiana, un método para estimar la cantidad de interés utilizando un modelo, datos y conocimientos previos. Los enfoques de inferencia bayesiana intentan resolver el problema inverso considerando las incertidumbres junto con el conocimiento previo sobre las cantidades de interés y la probabilidad de los datos observados. Esencialmente, su resultado, el posterior, refleja cómo los nuevos datos cambian nuestras creencias sobre las cantidades desconocidas.

Usando los logaritmos de las probabilidades para eludir los problemas de cálculo que surgen de la multiplicación de números pequeños y despreciando la constante de normalización que es la evidencia, el teorema de Bayes se lee como

Aquí, q es la distribución posterior para \(\varvec{\theta }\) dados algunos datos \(\varvec{d}\), l es la probabilidad de observar los datos \(\varvec{d}\) dados modelo con parametrización \(\varvec{\theta }\), y por último, p es la distribución previa en \(\varvec{\theta }\).

Se remite al lector a la literatura referente al tratamiento de tres grandes cuestiones dentro de las soluciones de problemas inversos: existencia, no unicidad e inestabilidad de la solución, siendo esta última también denominada mal planteado44.

Considere un modelo delantero, vea la Fig. 1, de una viga en voladizo

Aquí, su flexibilidad estructural C(t) se considera como una función sobre el dominio de la viga [0, L]. El operador \(\mathscr {G}\) se usa para transformar esta función en una salida \(\varvec{d}\). Las desviaciones estáticas y las frecuencias propias comprenden \(\varvec{d}\) para el análisis estático y el análisis modal, respectivamente. La salida medida

está sujeto al ruido de medición \(\varvec{\eta }\). Resolver el problema inverso es entonces

En la práctica, una representación de dimensión finita de la flexibilidad C(t) basada en el vector de parámetros \(\varvec{\theta }\) formado por los parámetros KL y la media del campo de flexibilidad se lee como

Esto conduce al modelo directo numérico discretizado

Ahora, la ecuación. (3) puede adoptarse para el problema en cuestión con \(\varvec{d}=\varvec{d}_{meas}\), y la parametrización de dimensión finita \(\varvec{\theta }\) dada en ecuación (7). El orden de truncamiento necesario de la expansión KL depende de la covarianza y es independiente de la discretización espacial elegida dentro del modelo directo. Para determinar s, la relación entre la varianza cubierta por la expansión KL truncada y la cubierta por la expansión completa debe compararse con las proporciones de umbral recomendadas45. Por lo general, s es menor que 20 y es significativamente menor que la discretización espacial de las ecuaciones gobernantes. Esta reducción en la dimensionalidad de la discretización espacial al número de coeficientes KL es crucial para la eficiencia de algunos algoritmos de Markov Chain Monte Carlo (MCMC). Además, permite el uso de métodos de modelos sustitutos como gPC31.

Al especificar el modelo de ruido de medición, una probabilidad personalizada se adapta a relaciones señal-ruido flexibles de los componentes de datos. Este modelo de error de medición asume que el vector de medición \(\varvec{d}_{meas}\) de dimensión \(\kappa\) está perturbado por componentes de ruido independientes

con las varianzas correspondientes \(\sigma ^2_j\). Ahora, para mediciones con valores escalares en varias frecuencias o ubicaciones dentro de la muestra y una sola ejecución de medición, la probabilidad

se convierte en el producto de las probabilidades marginales de sus componentes. Las mediciones con valores vectoriales, así como las mediciones repetidas, requieren modificaciones de la ecuación. (10).

Con elecciones fijas para la probabilidad, el modelo directo, su parametrización y la dotación de este último con densidades previas, el lado derecho de la ecuación. (3) puede ser evaluado. Sin embargo, las soluciones de forma cerrada para la función de densidad de probabilidad posterior solo están disponibles para casos especiales que involucran conjugación. Esto requiere el muestreo de la parte posterior, que se puede lograr utilizando los algoritmos Markov Chain Monte Carlo (MCMC). Este estudio emplea el método de muestreo de rebanadas de una sola variable formulado por Neal46. Se aplica a cada parámetro por separado, mientras que los demás parámetros son fijos.

Esta sección describe la aplicación de los métodos presentados en "Métodos". Específicamente, "Modelo de viga en voladizo" presenta el modelo de viga en voladizo usado, mientras que "Análisis modal" describe el análisis modal del sistema y "Análisis estático" cubre el análisis estático del sistema. Después de las explicaciones sobre estos modelos directos, "Identificación de la flexibilidad usando medidas de frecuencia propia del análisis modal" proporciona el procedimiento de solución para el problema inverso basado en datos modales y "Identificación de la flexibilidad usando medidas de deflexión del análisis estático" detalla el procedimiento cuando se dan datos de deflexión.

Considere el modelo de viga en voladizo de Timoshenko que se muestra en la Fig. 1, donde los límites están fijados en el lado izquierdo y libres en el lado derecho. La viga exhibe una longitud L y una sección transversal rectangular con un área de \(A = g\cdot h\), donde el ancho y la altura de la sección transversal se indican mediante g y h, respectivamente. El segundo momento de área se calcula como \(I = gh^3/12\), y el factor de corrección de cortante \(k_s\) para una sección transversal rectangular es \(k_s = 5/6\). El material de la viga se caracteriza por el módulo de Young E y el módulo de cortante G, considerando la ley de Hooke.

La figura muestra una vista lateral del modelo de viga en voladizo investigado junto con su perfil y el sistema de coordenadas. El perfil rectangular exhibe ancho g y alto h. La longitud del haz es L. Aquí, la coordenada del haz se denota como t, y la coordenada de deflexión se lee como w.

Este problema se implementa con el método de elementos finitos a través de la biblioteca SfePy Python47. La discretización de la deflexión w, el ángulo \(\psi\) y las funciones de ponderación correspondientes se realiza utilizando \(2^\mathrm {{nd}}\) polinomios de orden que se definen en cada elemento.

Para modelar el módulo elástico E que varía espacialmente, se supone que varía aleatoriamente sobre la coordenada t del haz. Se supone entonces que el inverso del módulo elástico, es decir, la flexibilidad elástica \(C = 1/E\), es una realización de un campo aleatorio gaussiano, donde la desviación estándar es una fracción del valor medio. La función de covarianza para la flexibilidad aleatoria se define en el dominio \(t\in [0,L]\) y un núcleo exponencial con longitud de correlación elegida arbitrariamente \(l=L/5\), como se define en la ecuación. (1), es elegido. La función de covarianza se evalúa en los nodos de la malla de elementos finitos, lo que produce propiedades de material constantes por partes, como se muestra para una discretización ejemplar gruesa en la Fig. 2.

El gráfico muestra una distribución de rigidez elegida arbitrariamente sobre la coordenada de la viga en diez posiciones discretas dentro del modelo numérico de la viga en voladizo. La discretización se elige a propósito como gruesa para la ilustración. Debido a que la rigidez se asigna a los nodos en lugar de a los elementos, las rigideces en los límites tienen la mitad de ancho en comparación con las asignadas a los elementos interiores.

El dominio se discretiza con 100 elementos finitos. Esto da como resultado 201 nodos para la evaluación de la función de covarianza. La matriz de covarianza \(201\times 201\) resultante se utiliza para sintetizar el vector de flexibilidad de referencia. La descomposición de Cholesky \(\varvec{LL}^\text{T}\) de esta matriz de covarianza logra la realización de la flexibilidad de referencia20. Este método alternativo se elige para el modelo de referencia en lugar de la expansión KL para mitigar un crimen inverso, ya que es más preciso, aunque de mayor dimensión, que la expansión KL. Con la flexibilidad de flexión media prescrita \(\mu _{C, true}\) y la matriz triangular inferior \(\varvec{L}\) resultante de la descomposición de Cholesky, el campo de flexibilidad se lee como

donde \(\varvec{\xi }\) es un vector de números aleatorios gaussianos estándar no correlacionados. Al darse cuenta de \(\varvec{\xi }\) se obtiene la muestra de referencia de la flexibilidad.

Por un lado, consideramos el análisis modal de la viga en voladizo descrito en "Modelo de viga en voladizo". Aquí, las primeras \(\kappa\) frecuencias propias del sistema \(f_1, f_2, \dots ,f_{\kappa }\) obtenidas al resolver el problema de valores propios del sistema conforman el vector de respuesta. Específicamente, la flexibilidad de referencia \(\varvec{C}_{true}\) de la viga en voladizo conduce a las frecuencias propias de referencia conectadas. A continuación, se superpone un vector de variables aleatorias gaussianas independientes a estas frecuencias propias para emular el ruido de medición.

Por otro lado, consideramos la viga en voladizo descrita en "Modelo de viga en voladizo" cuando se somete a una carga estática F en \(t=L\). Aquí, \(\kappa\) medidas de deflexión estática equiespaciadas comprenden el vector de respuesta. Después de aplicar la flexibilidad de referencia \(\varvec{C}_{true}\) al modelo de viga en voladizo, calculamos las deflexiones de referencia conectadas. Para simular el ruido de medición, las desviaciones estáticas se superponen con variables aleatorias gaussianas independientes e idénticamente distribuidas.

A continuación, usamos mediciones ruidosas de las primeras 10 frecuencias propias simuladas de la viga en voladizo con el vector de flexibilidad de referencia. Luego, se estima la flexibilidad de referencia para todas las posiciones dentro del haz a partir de estas mediciones de frecuencia propia con ruido. Tenga en cuenta que la flexibilidad de referencia es desconocida en el contexto del procedimiento de inversión.

La Figura 4 muestra un diagrama de flujo del procedimiento de inferencia, mientras que los siguientes párrafos lo describen con mayor detalle.

La reconstrucción de la flexibilidad de referencia desconocida con los métodos descritos en "Métodos" requiere la fuerte suposición de que la media de la flexibilidad es constante, es decir, estacionaria, y la de la covarianza de la flexibilidad. Asumimos la misma covarianza, un núcleo de covarianza exponencial con longitud de correlación \(l=L/5\) y un exponente de \(\gamma =2\), como se usa para el modelo de referencia para mantener la comparabilidad de la parametrización de flexibilidad. Estas suposiciones pueden ser relajadas por una familia parametrizada de kernels y una inferencia de su parametrización junto con los parámetros KL48. El modelo FE de reconstrucción exhibe 50 elementos cuadráticos que conducen a una evaluación espacial de la flexibilidad en 101 nodos. Esta discretización más gruesa en comparación con el modelo de referencia es nuevamente elegida para evitar un crimen inverso49.

Para reducir la dimensionalidad aleatoria, discretizamos el campo aleatorio desconocido con la expansión KL de la ecuación. (2) truncado a \(s=6\) términos. Suponiendo una media constante, esto produce \(s+1\) variables aleatorias desconocidas que forman el vector discreto de incógnitas \(\varvec{\theta }\), es decir, la media y los parámetros s KL. Siguiendo a Huang et al.45, esta configuración explica \(\alpha =98\%\) de la varianza de la flexibilidad aleatoria.

Al usar la expansión KL, esencialmente aplicamos un proceso gaussiano antes de la flexibilidad. Dentro de esta probabilidad previa, la media de flexibilidad se distribuye de acuerdo a

y los parámetros KL están dotados de un previo normal:

Estas distribuciones previas pueden interpretarse de manera análoga a la regularización en optimización. El previo normal elegido sobre la media de flexibilidad representa una suposición débil, mientras que el previo sobre los coeficientes KL codifica un supuesto sobre la varianza de flexibilidad.

Las desviaciones estándar de ruido real presentan la opción ideal para las desviaciones estándar de probabilidad, porque las mediciones inexactas no se interpretan erróneamente como precisas y, por el contrario, las mediciones más precisas no se asumen como excesivamente ruidosas, lo que conduce a una pérdida de información. En la práctica, las características de error o ruido son desconocidas, pero pueden estimarse a partir de la información estadística obtenida de mediciones repetidas. Definimos las probabilidades con una desviación estándar más alta que la del ruido de medición sintético utilizado y, por lo tanto, subestimamos la precisión de las mediciones. Los valores numéricos se compilan junto con todos los parámetros que son necesarios para reproducir los resultados en el apéndice en línea S1. La función de verosimilitud para mediciones con valores vectoriales en la ecuación. (10) implica que cada frecuencia propia se mide solo una vez y no repetidamente.

La desviación estándar de la probabilidad de medición se expresa como una función de la frecuencia. El gráfico muestra el aumento cuadrático elegido de la desviación estándar de probabilidad de medición \(\sigma _j\) sobre el número de la frecuencia propia correspondiente. Esta ponderación enfatiza la influencia de las primeras frecuencias propias. La desviación estándar de probabilidad más alta para las frecuencias propias más altas refleja la expectativa de que la precisión de la medición se deteriora con el aumento de la frecuencia.

La desviación estándar de la probabilidad aumenta cuadráticamente con el número de la frecuencia propia correspondiente, véase la Fig. 3. Por lo tanto, se le da más importancia a la coincidencia de frecuencias propias bajas.

El algoritmo de muestreo de rebanadas genera muestras \(\varvec{\theta }^{(i)}\) de la parte posterior en la ecuación. (3). Múltiples cadenas con diferentes valores iniciales ayudan a atenuar la influencia del valor inicial de la cadena de Markov muestreada junto con la exclusión de muestras quemadas del número de muestras utilizadas U. La evaluación de la expansión KL aplicada en las muestras posteriores produce las muestras correspondientes de el campo aleatorio posterior.

Procedimiento general para reconstruir el campo aleatorio de referencia dadas las frecuencias propias ruidosas y asumiendo la covarianza de referencia, los antecedentes y las características del ruido de medición con inferencia bayesiana. La parte superior se refiere al cálculo de la frecuencia propia de referencia a partir de la flexibilidad de referencia. Dadas las observaciones ruidosas de estas frecuencias de referencia, el objetivo del procedimiento detallado en la parte inferior es estimar la flexibilidad de referencia. Aquí, la línea discontinua marca la parte de la inferencia que debe calcularse en cada paso de la cadena.

Junto con el valor esperado de la flexibilidad,

calculamos intervalos de confianza que contienen el 95% de los valores de \(C^{(u)}(t_j)\) para cada posición \(t_j\). Finalmente, el error porcentual cuadrático medio (RMSPE) con respecto a la flexibilidad de referencia se obtiene como

La identificación de la flexibilidad estructural utilizando datos de deflexión estática sigue el mismo procedimiento general que se describe en "Identificación de la flexibilidad utilizando medidas de frecuencia propia del análisis modal". Esta sección no repite los pasos compartidos entre los dos procedimientos, sino que destaca las diferencias.

Aquí, las mediciones ruidosas de las deflexiones estáticas simuladas de la viga en voladizo con la flexibilidad de referencia constituyen los datos. Con estas 10 deflexiones estáticas equiespaciadas, estimamos la flexibilidad de referencia desconocida \(\varvec{C}_{true}\).

Reemplazar modal con análisis estático y frecuencias propias con desviaciones estáticas, respectivamente, en el diagrama de procedimiento, ver Fig. 4, produce el procedimiento de inversión usando análisis estático.

Al contrario de la inversión a través del análisis modal, elegimos una desviación estándar de probabilidad constante para el análisis estático. La probabilidad sigue la ecuación. (10), donde las deflexiones estáticas se miden una vez en cada posición equiespaciada.

Esta sección presenta los hallazgos del presente estudio. "Análisis modal" y "Análisis estático" consideran el intervalo de confianza de la solución sobre la coordenada del haz y "Los efectos de la relación señal-ruido y la longitud de correlación de la flexibilidad" explora los efectos de la relación señal-ruido así como la flexibilidad longitud de correlación.

La Figura 5 muestra los resultados del procedimiento para una realización ejemplar de la flexibilidad aleatoria. Aquí, las líneas discontinuas y punteadas marcan la flexibilidad de referencia desconocida a priori. La figura 5a muestra el resultado usando el método dinámico y la figura 5b ilustra el resultado del método estático basado en deflexión para comparación. Tenga en cuenta que el enfoque bayesiano propuesto produce una cadena de muestras para \(\theta _i\). Estas muestras se pueden utilizar para estimar los momentos estadísticos más altos de la distribución posterior además de la media y la varianza. Restringir el análisis de los resultados a la media y la varianza ignoraría cualquier sesgo del posterior en cualquier ubicación, lo cual es visible en la Fig. 5 a través de los intervalos de confianza asimétricos. Además, tenga en cuenta que el procedimiento ha producido un campo aleatorio posterior no estacionario ya que estos momentos no son constantes a lo largo de la longitud del haz.

Los siguientes párrafos interpretan las propiedades del intervalo de confianza a lo largo de la coordenada t del haz con base en un total de 100 realizaciones de la flexibilidad, de modo que las interpretaciones son aplicables en un sentido general.

Las figuras muestran los resultados del flujo de trabajo de inferencia para una flexibilidad de referencia específica. El gráfico de la izquierda corresponde al análisis modal, mientras que la figura de la derecha está conectada al análisis estático. Las líneas discontinuas y punteadas respectivas muestran la flexibilidad de referencia, mientras que las líneas sólidas respectivas representan su media posterior estimada. Las alturas bajas de los intervalos de confianza indican una mayor certeza de los resultados de la inferencia en la ubicación respectiva.

Con el enfoque basado en la frecuencia propia y con la estructura de probabilidad elegida, el tamaño del intervalo de confianza es aproximadamente constante a lo largo de la coordenada t del haz. La elección actual de las primeras 10 frecuencias propias conduce a una cantidad comparable de información de flexibilidad para todas las posiciones espaciales.

Evitar los signos no físicos de la flexibilidad es sencillo utilizando el modelo basado en la frecuencia propia, ya que la flexibilidad negativa conduce a una frecuencia propia cuadrática negativa. Para este caso, la probabilidad de los candidatos de solución correspondientes simplemente se establece en cero y, por lo tanto, obtenemos aquí una estimación puramente positiva de la flexibilidad.

Con el enfoque basado en la deflexión estática, el intervalo de confianza aumenta a medida que crece la distancia desde la sujeción. Esto es consistente con la intuición de que el momento de flexión dentro de la viga varía linealmente a lo largo del eje de la viga, con el valor absoluto máximo en la sujeción. Debido a que el impacto de las fluctuaciones de flexibilidad en la deflexión depende directamente del momento de flexión, estas fluctuaciones tienen su mayor impacto cerca del límite fijado. Por el contrario, las deflexiones contienen proporcionalmente más información sobre la flexibilidad en el lado izquierdo que en el lado derecho. Esto facilita la propagación del error de la parte izquierda a la derecha del dominio y finalmente conduce al estrecho intervalo de confianza en la parte izquierda y al amplio intervalo de confianza en la parte derecha del haz.

Con el modelo estático basado en deflexión, pueden surgir algunos problemas con el signo de la flexibilidad, debido al soporte del campo aleatorio gaussiano \(C(t_j)\in \mathbb {R}\) dentro de la reconstrucción. Aquí, la estimación viola la restricción física de que la flexibilidad sea positiva en algunos lugares del lado derecho de la viga. La razón de esto es una mezcla de las características del haz y el supuesto ruido de medición. La viga en voladizo exhibe un pequeño momento de flexión en su lado derecho, lo que lleva a una pequeña curvatura en este lado. Para simular las medidas de deflexión, agregamos ruido gaussiano sintético a las deflexiones. En las regiones del lado derecho con una curvatura de referencia baja, es probable que la curvatura del ruido domine la curvatura total dentro de las mediciones simuladas. Como el momento de flexión vincula la flexibilidad y la curvatura, la reconstrucción esencialmente estima la curvatura de la viga. Esto explica por qué el componente de curvatura resultante del ruido de medición sintético puede propagarse a la flexibilidad estimada y, en consecuencia, dar lugar a valores negativos para la flexibilidad en algunos casos.

Este estudio se centra en investigar y comparar dos métodos no destructivos para la identificación de parámetros de materiales. Para estudiar la eficacia del método dinámico y estático, demostramos la variación estratégica de la configuración del problema inverso. Específicamente, esperamos mayores longitudes de correlación de la flexibilidad y mayores relaciones señal/ruido para mejorar la calidad de la inversión y, de hecho, obtuvimos estos resultados esperados.

Comparación del rendimiento de los métodos influenciados por el cambio de configuraciones del problema inverso. El gráfico de la izquierda muestra el efecto de cambiar las relaciones señal-ruido, mientras que el gráfico de la derecha muestra el impacto de la longitud de la correlación de flexibilidad.

El efecto de la relación señal-ruido (SNR) en la calidad de la solución se investiga con una variación sistemática de la desviación estándar del ruido, consulte la Fig. 6a. Para obtener resultados representativos, el procedimiento descrito se lleva a cabo para 100 realizaciones únicas de la flexibilidad de referencia por relación señal/ruido. El error descrito en la Ec. (15) luego se promedia sobre las 100 realizaciones. El error disminuye de forma no lineal para la escala SNR elegida. Las relaciones señal/ruido comparativamente bajas producen una meseta en el error. Después de una torcedura en la curva, un mayor ruido de medición implica un comportamiento de error de aplanamiento. Observamos un RMSPE consistentemente más bajo cuando empleamos el enfoque usando mediciones de deflexión estática y un orden más alto de convergencia de error para el método de frecuencia de resonancia. Tenga en cuenta que en la práctica se pueden obtener mediciones más precisas promediando varias ejecuciones de medición repetidas.

La variación de la longitud de correlación de flexibilidad que se muestra en la Fig. 6b exhibe el resultado esperado. El error disminuye de forma no lineal con el aumento de las longitudes de correlación de la realidad del terreno. La brecha de error entre los métodos estático y dinámico se reduce con longitudes de correlación crecientes. Los errores comparativamente grandes en el régimen de longitud de correlación pequeña resultan de la mayor complejidad de la función desconocida. Esto, a su vez, corresponde a un espacio de parámetros cada vez más complejo que el procedimiento de inferencia debe atravesar. Por el contrario, una longitud de correlación infinitamente grande correspondería a una flexibilidad constante. Esto representa el caso más simple y esperamos los errores más pequeños aquí.

Con respecto al análisis estático, este estudio no tiene en cuenta la incertidumbre en la carga y su aplicación al espécimen. Estas incertidumbres se propagan a través del sistema hasta las deflexiones. Además, la medición de las deflexiones está sujeta a errores de medición. Los desafíos del ruido de medición para aplicaciones a microescala están vinculados a restricciones físicas en la óptica50. Las aplicaciones a macroescala como la estudiada en este artículo, por un lado, se basan en métodos como la correlación de imágenes digitales51. Por otro lado, utilizan sistemas de marcadores ópticos activos o pasivos que normalmente implican configuraciones de cámara52. Aquí, se debe encontrar un compromiso entre el área cubierta y la distancia de la cámara, los cuales están acoplados por el ángulo de visión. Maletsky et al.53 informan una relación no lineal entre la distancia de la cámara y la SNR y encuentran una SNR general de 45 dB para una configuración genérica. De hecho, ya se pueden lograr SNR de más de 60 dB para configuraciones de medición de respuesta dinámica54. Teniendo en cuenta que esta precisión de medición de los métodos dinámicos supera la de los métodos estáticos8, se arroja una luz desfavorable sobre el análisis modal.

Este estudio considera los análisis modales y estáticos de una viga en voladizo fijada de configuración idéntica y no tiene en cuenta la incertidumbre en las condiciones de contorno. Sin embargo, un análisis modal experimental normalmente se lleva a cabo con condiciones de contorno libre-libre que son reproducibles con mayor precisión en la práctica que otras condiciones de montaje55. Aquí, este beneficio del método se intercambia por comparabilidad con respecto al análisis estático.

Debruyne et al.39 encuentran dudosa la utilidad del análisis modal experimental para su procedimiento de actualización de modelos, cuando la calidad de la medida no es excelente. Su conclusión se ve confirmada por nuestros resultados que se derivan de un entorno con errores de modelado conocidos de forma determinista. Mehrez et al.38 afirman que su número de puntos de datos resulta adecuado para la configuración de su problema. Nuestros resultados complementan esto al establecer una relación entre la SNR y el error, lo que permite una estimación de la cantidad requerida de puntos de datos para lograr una tolerancia de error dada la SNR de una sola medición. Su región de confianza compensa \(\approx \!30 \%\) del valor medio. Nuestro método de frecuencia de resonancia coincide con esta precisión de estimación para relaciones señal-ruido altas y longitudes de correlación de campo aleatorio reales cercanas o mayores que L. Esto se debe al algoritmo de muestreo agnóstico de gradiente utilizado en este estudio, por un lado y debido a la diferencia en la información proporcionada al método por otro lado, ya que en el estudio de Mehrez et al.38 se utilizan datos locales en lugar de globales.

Desarrollamos un nuevo método de frecuencia de resonancia bayesiana con dimensionalidad estocástica reducida para identificar la flexibilidad estructural espacialmente variable de una viga en voladizo. Presenta una gran ventaja en comparación con los métodos no destructivos existentes para determinar las propiedades locales de los materiales a macroescala utilizando datos dinámicos. Como no depende de la información local como lo hacen los métodos convencionales, puede operar sin línea de visión del espécimen. Esto es especialmente valioso en el contexto del advenimiento de materiales clasificados funcionalmente. Este último está promoviendo propiedades materiales que varían espacialmente dentro de ensamblajes geométricamente complejos. Aquí, nuestro método permite realizar pruebas no destructivas cuando hay socavaduras.

Obtenemos resultados para las características de error no lineal con respecto a SNR y la longitud de correlación de flexibilidad. Teniendo en cuenta la influencia de SNR, se destaca que se produce una saturación del error con relaciones señal-ruido bajas. Estos resultados se establecen en relación con los obtenidos al aplicar el procedimiento bayesiano al voladizo sometido a carga elástica lineal estática.

En conclusión, utilizando características idénticas de longitud de correlación de ruido y flexibilidad:

la inversión basada en deflexiones estáticas produce errores absolutos más bajos.

el intervalo de confianza se amplía a medida que aumenta la distancia desde la sujeción para el enfoque estático.

la altura del intervalo de confianza utilizando el enfoque dinámico permanece constante a lo largo de la viga.

Además, concluimos que, en general:

mayores longitudes de correlación de flexibilidad conducen a una mejor reconstrucción.

relaciones señal-ruido más altas reducen el error de estimación.

En la práctica, la elección del método debe considerar cuidadosamente la reproducibilidad de las condiciones límite reales dentro de los modelos numéricos y, especialmente, las relaciones señal/ruido que se pueden lograr con las configuraciones experimentales.

Actualmente, no se dispone de datos fiables que describan la aleatoriedad espacial de las propiedades de los materiales, y los modelos de covarianza de Matérn o casos especiales como núcleos exponenciales isotrópicos se utilizan como alternativa, véase48. Identificar sistemáticamente la covarianza de tales datos para las clases de materiales comunes, los procesos de fabricación conectados y las aplicaciones de ingeniería que introducen heterogeneidad eliminaría la necesidad de muchas suposiciones que son necesarias actualmente. La investigación futura debe estudiar la influencia de estos modelos de covarianza identificados y sus respectivos parámetros en la eficacia de nuestro método. Esto puede incluir la construcción de núcleos de covarianza compuestos a partir de núcleos básicos, por ejemplo, usando la suma o la multiplicación, véase Hofmann et al.56. Esta propiedad podría usarse para combinar núcleos a través de dimensiones espaciales y modelar, entre otros, materiales anisótropamente heterogéneos.

Este artículo muestra la solución del problema inverso para una sola cantidad de interés que depende de una coordenada espacial. En la práctica, más de un parámetro puede ser relevante. En el contexto de los materiales isotrópicos, el módulo de corte o la relación de Poisson, así como la densidad de masa, pueden ser relevantes. Para los materiales anisotrópicos, los componentes espaciales de las propiedades elásticas también son necesarios para caracterizar completamente el material. Esto complica el problema inverso. Sin embargo, tomar en cuenta información adicional promete mitigar estos efectos. Para algunas clases de materiales, los componentes espaciales de las propiedades elásticas están correlacionados linealmente. Específicamente para la madera, el módulo de Young en la dirección de crecimiento de un árbol se correlaciona linealmente con el módulo de Young en la dirección radial ortogonal a los anillos de crecimiento. A menudo, el coeficiente de correlación lineal de Pearson supera \(r=0,5\) aquí. Las investigaciones preliminares han demostrado que incorporar el conocimiento de la correlación cruzada no es uniformemente beneficioso. Por el contrario, el éxito del método depende de la amplitud de la correlación cruzada y del algoritmo utilizado para muestrear la distribución posterior, entre otros. La investigación futura debe abordar esta brecha de investigación y producir resultados integrales que sirvan como guía para los investigadores.

Los datos sin procesar generados durante el estudio actual están disponibles del autor correspondiente a pedido razonable.

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Karl-Alexander Hoppe, Martin GT Kronthaler, Kian Sepahvand y Steffen Marburg

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Correspondencia a Karl-Alexander Hoppe.

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Hoppe, KA., Kronthaler, MGT, Sepahvand, K. et al. Identificación de la rigidez espacialmente incierta de una viga en voladizo. Informe científico 13, 1169 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-27755-5

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Recibido: 04 Octubre 2022

Aceptado: 06 enero 2023

Publicado: 20 enero 2023

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