Viabilidad de un Boltzmann multigrupo

Scientific Reports volumen 13, Número de artículo: 1310 (2023) Citar este artículo

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Los solucionadores de reactores nucleares Boltzmann heredados comienzan el despliegue clínico como una alternativa a los códigos de Monte Carlo (MC) y los modelos semiempricos de Fermi-Eyges en la planificación del tratamiento de oncología radioterápica. Los solucionadores clínicos certificados de hoy se limitan a haces de fotones. En este documento, ELECTR, un módulo de generación de secciones transversales de electrones multigrupo de última generación en NJOY, se presenta y valida con las medidas calorimétricas de Lockwood, EGS-nrc y GEANT-4 para haces de electrones unidireccionales de 1–20 MeV. El solucionador de reactor nuclear DRAGON-5 se actualiza para acceder a la biblioteca y resolver la ecuación de Boltzmann-Fokker-Planck (BFP). Se utilizó una variedad de configuraciones heterogéneas de fantasmas de radioterapia y radiocirugía con fines de validación. Los estudios de casos incluyen un punto de referencia de tórax, el de una radioterapia intraoperatoria de mama típica y un punto de referencia similar al paciente de alta heterogeneidad. Para todos los haces, \(100\%\) de los vóxeles de agua cumplieron con el criterio de precisión de la Asociación Estadounidense de Físicos en Medicina para un error de dosis de BFP-MC por debajo de \(2\%\). Al menos, \(97.0\%\) de vóxeles adiposos, musculares, óseos, pulmonares, tumorales y mamarios cumplieron con el criterio \(2\%\). El error relativo promedio de BFP-MC fue de aproximadamente \(0.56\%\) para todos los vóxeles, haces y materiales combinados. Al irradiar losas homogéneas de \(Z=1\) (hidrógeno) a \(Z=99\) (einstenio), informamos el rendimiento y los defectos del modo CEPXS [US. Sandia National Lab., SAND-89-1685] en ELECTR para toda la tabla periódica. Para todos los puntos de referencia de Lockwood, las predicciones de dosis de NJOY-DRAGON están dentro de la precisión de los datos experimentales para \(98\%\) de vóxeles.

El sistema de procesamiento de datos nucleares NJOY se usa ampliamente para procesar secciones transversales de neutrones y fotones puntuales y multigrupo de archivos de datos nucleares evaluados (ENDF)1. La restricción actual a las evaluaciones inducidas por partículas neutras limita el alcance de la aplicación del sistema al diseño de reactores de fisión, licencias y análisis de seguridad, modelado de administración de existencias, evaluación comparativa de seguridad de criticidad, protección contra la radiación y gestión de desechos nucleares2,3,4.

La necesidad. El transporte de partículas cargadas de luz es necesario, entre otros, en dispositivos electrónicos de ultraescala5 (p. ej., dispositivos microelectrónicos de silicio6), control de plasma de fusión a baja presión7, plasma de descarga de gas8, transporte de haz de acelerador (p. ej., (e\(^-\) , e\(^+\)) ​​colisionadores)9,10, interacciones haz-haz5, oncología radioterápica y física médica11,12,13. El uso de códigos/modelos de transporte de electrones ya está generalizado en el flujo de trabajo de la práctica clínica diaria de oncología radioterápica. Para evitar la naturaleza estocástica de un cálculo de Monte Carlo (MC), conocido por ser muy preciso pero computacionalmente costoso y lento, los físicos médicos han recurrido a los llamados modelos semiempíricos (SEM) del núcleo. Los algoritmos de MC modificados, por ejemplo, modificando el transporte de electrones, limitando el seguimiento de eventos de baja probabilidad o implementando métodos de transporte basados ​​en vóxeles14 y aquellos basados ​​en técnicas de reducción de varianza15 existen en algunas rutinas clínicas16,17 y no se discutirán aquí.

Núcleo de punto18, haz de lápiz19,20,21, convolución de cono colapsado22 y convolución/superposición23,24 son los modelos que normalmente se implementan en los sistemas de planificación de tratamiento clínico (TPS). Las suposiciones principales se derivan del uso de la teoría de dispersión de ángulo pequeño de Fermi-Eyges25,26 para la transferencia radiativa, que establece que (i) la dispersión múltiple de partículas cargadas implica solo variaciones muy pequeñas en la dirección de propagación, (ii) los electrones tienen una pequeña ángulo de vuelo, es decir, sus trayectorias están contenidas dentro de un cono, evitando que se desvíen de los sitios de producción, y (iii) todos los electrones en la profundidad x tienen una energía predeterminada E(x). En consecuencia, tales aproximaciones equiparan incorrectamente la longitud de la trayectoria de las partículas con su profundidad, ignoran los efectos rezagados, la pérdida de energía catastrófica y la desviación de gran ángulo. En 1981, Hogstrom et al.27 propusieron la primera adaptación de esta teoría para haces de electrones (transporte desacoplado). Debido a la dependencia de profundidad del kernel predeterminado, el modelo solo puede dar cuenta de heterogeneidades estratificadas28. Este último se está aproximando mediante un cambio de escala de los núcleos de difusión. Este modelo de haz de lápiz fue generalizado 13 años después por Gustafsson29 y Ulmer30 para haces de fotones. Desde el principio, estos estudios han reportado fallas considerables que van desde casos de simples heterogeneidades hasta configuraciones complejas. Factores de corrección y mejoras SEM: por ejemplo, la teoría de dispersión múltiple de segundo orden de Jette y Bielajew31, Storchi y Huizenga ingrediente de poder de frenado angular32, Bruinvis et al. modelo rezagado33, algoritmo de redefinición de Shiu y Hogstrom34, Yu et al. modelo multiray35, Ahnesjö et al. (haces de fotones)21 y Knoos et al. (haces de electrones)36 correcciones de heterogeneidad parcial, Ulmer et al. escala lateral37, o Tillikainen et al.38 modelos buildown— eran necesarios pero no han evitado errores típicos de \(22\%\) (después de una perturbación de densidad)39 o \(40\%\) (cerca de heterogeneidades)40 de volver a ocurrir . Hensel et al.28 explican que el problema es que se sabe que la hipótesis de dispersión múltiple de Fermi-Eyges es cierta en astrofísica, pero no puede serlo para los tejidos humanos. En otras palabras, incluso si las dispersiones elásticas de Mott e inelásticas de Møller y Bhabha tienen un pico hacia adelante, el efecto acumulativo de la dispersión múltiple da como resultado un cambio de ángulo considerable para el que no se desarrolló la teoría de Fermi-Eyges. Los médicos son conscientes de estas limitaciones41,42,43.

El esfuerzo. En los últimos años, dos esfuerzos equivalentes en dos campos diferentes (médico y nuclear) intentaron abordar los inconvenientes del núcleo SEM y MC mediante el desarrollo de capacidades de transporte deterministas para partículas cargadas. El esfuerzo nuclear ha optado por construir sobre la teoría neutrónica existente, el formalismo multigrupo y los solucionadores de Boltzmann del reactor nuclear, mientras que el esfuerzo médico ha optado por empezar de cero, presentando la teoría y desarrollando borradores de algoritmos caseros.

Larsen44,45 demostró eso; (i) ignorar la dispersión de gran ángulo conduce, sistemáticamente, a errores significativos, (ii) las ecuaciones de Fermi-Eyges y Fokker-Planck tienen al menos 10 órdenes de magnitud de la precisión de BFP. Jette46 demostró que una ecuación de dispersión múltiple gaussiana, basada en la ecuación BFP, conduce a un núcleo de dispersión más preciso que el del haz de lápiz. Larsen et al.47 demostraron, con momentos de bajo orden y un flujo impuesto por Gauss, que una resolución numérica gruesa de la ecuación BFP en una losa de agua infinita da como resultado perfiles de dosis más cercanos a CM que la teoría de Fermi-Eyges. Tervo et al.48,49 propusieron un algoritmo BFP de planificación inversa de elementos finitos 1D, que acopla el transporte de fotones y electrones en tejidos biológicos y omite la producción de par y bremsstrahlung. Hensel et al.28 reivindicaron una primera presentación de una ecuación de Boltzmann acoplada completa para la radioterapia con fotones en tejidos heterogéneos. Todos estos estudios son irreproducibles, construidos desde cero, ignoran algunas interacciones, lejos del criterio de precisión \(2\%\)14,50, o se basan en secciones transversales no evaluadas. Por lo tanto, no cumplen con los requisitos típicos de calidad, integridad, solidez, reproducibilidad y automatización51.

Los primeros resultados reproducibles, con garantía de calidad, fueron propuestos por Gifford et al.52 y Vassiliev et al.50 tras la introducción del solver Los Alamos Attila SN, respectivamente, para Fletcher Suit Delclos y Rogers and Mohan benchmarks (2006), próstata y planes de tratamiento con haces de fotones para tumores de cabeza y cuello (2008). Se observó una concordancia de dosis de \(3\%\) (diferencia relativa puntual) para \(99\%\) de los vóxeles en regiones acumuladas, cerca de heterogeneidades y en la penumbra del haz. En 2010, Vassiliev et al.53 propusieron Acuros, una reescritura optimizada del código Attila de propósito general, y demostraron que una concordancia de dosis de \(2\%\) para \(99.9\%\) de vóxeles en la planificación del tratamiento con fotones de mama es posible. Por lo tanto, la calificación, validación y certificación de Acuros ha crecido año tras año en oncología radioterápica. En 2011, Bush et al.54 demostraron que Acuros redujo los errores clínicos típicos del algoritmo analítico anisotrópico (AAA) \(10,2\%\) y \(17,5\%\), respectivamente, en pulmón y baja densidad pulmonar, a \(2,0 \%\) y \(2,9\%\). En 2012, Hoffmann et al.55 calificaron Acuros con detectores de cámara de ionización para tejidos homogéneos (dentro del \(1\%\)) y heterogéneos (dentro del \(2\%\)) y nuevamente demostraron su superioridad sobre el algoritmo clínico AAA, especialmente en tejido óseo y pulmonar. De 2013 a 2022, se informó un rendimiento similar para la radioterapia de intensidad modulada (IMRT), rapidArc de carcinoma nasofaríngeo56, radioterapia corporal estereotáctica (SBRT)57, planificación rapidArc para tumores de pulmón no microcíticos, arco modulado volumétrico de pulmón estereotáctico y convencional 58, interferencia de implante metálico de cadera59, planificación de tratamiento de braquiterapia de alta tasa de dosis60, planes de terapia de arco modulado volumétrico61, SBRT pulmonar tratada durante la retención de la respiración con inspiración profunda (DIBH)62, planes de tratamiento clínico del paciente (p. ej., pulmón/conformación 3D, pulmón/IMRT , cabeza y cuello/VMAT, cuello uterino/IMRT y recto/VMAT)63, radioterapia corporal ablativa estereotáctica64, radioterapia corporal estereotáctica para carcinoma hepatocelular y SBRT antropomórfica de columna65.

Los límites del estado del arte. Se deben mencionar cinco límites: (1) los estudios previos solo se refieren a la radioterapia con fotones, (2) Vassiliev et al.53 mencionan que la radioterapia con electrones no es posible con Acuros debido a la falta de una implementación del operador de dispersión continua de Fokker-Planck, (3) las secciones transversales se basan en los EE. UU. de 1989. Biblioteca CEPXS del Laboratorio Nacional de Sandia (SAN89-1685, Versión 1.0)66, (4) este último es un código de generación de sección cruzada multigrupo-Legendre no evaluado de electrón-fotón acoplado, el único código de este tipo, que tuvo un solo lanzamiento (octubre de 2010). 1989) y nunca ha sido validado para radioterapia de electrones y (5) CEPXS, Acuros y Attila no están disponibles bajo licencias de código abierto.

La propuesta. En este trabajo tratamos de abordar estos problemas. En primer lugar, proponemos y validamos ELECTR, un módulo de generación de secciones transversales de electrones multigrupo de última generación en NJOY, que puede trabajar con datos ENDF y secciones transversales CEPXS. Una biblioteca con formato GENDF que contiene secciones transversales electroatómicas catastróficas multigrupo, producción en cascada de relajación, componentes anisotrópicos de Legendre de matrices de dispersión inelásticas de grupo a grupo y elásticas dentro de un grupo, poderes de frenado suaves radiativos y de colisión, coeficientes de transferencia de momento multigrupo, energía y carga Las secciones transversales de deposición, que cubren el rango de [1 keV, 20 MeV] para elementos \(Z = 1\) (hidrógeno) a \(Z = 99\) (einstenio), son producidas por el módulo ELECTR. En segundo lugar, actualizamos el módulo de posprocesamiento MATXSR en NJOY para formatear la última biblioteca en un solo conjunto de datos multigrupo independiente al que se puede acceder mediante una variedad de códigos de celosía y ordenadas discretos heredados. El archivo MATXS producido luego se recupera mediante el solucionador de ordenadas discretas Dragon-5 BFP actualizado67, donde se utiliza un esquema de diferenciación de diamantes de alto orden (HODD) para la discretización espacial, con una expansión de \(P_{\ge 8}\) Legendre para anisotropía de dispersión y \(S_{64}\) cuadratura angular. Finalmente, procedemos con las validaciones contra las mediciones calorimétricas experimentales de Lockwood68, Egs-nrc, Geant-4 en losas de agua, tórax69, radioterapia de electrones Mobetron intraoperatoria70 y puntos de referencia de alta heterogeneidad41, así como losas típicas que cubren toda la tabla periódica. Este artículo se limita al caso de las funciones de alimentación de CEPXS en ELECTR. Por razones de validación, solo se transportan electrones. Bremsstrahlung y fotones de fluorescencia se producen y eliminan en el lugar de nacimiento.

Sea n la dirección ordenada discreta del electrón (\({\hat{\Omega }}_{n}\)), g su grupo de energía, \(\vec {r}\) su posición, la forma multigrupo de \ (S_{N}\) La ecuación BFP viene dada por:

\(\psi ^e\) designa el flujo de electrones, \(\Sigma _t\) la sección transversal total, \(L^{\text {B}}\) el operador de Boltzmann, \(L^{\text { FP}}\) el operador de Fokker-Planck y \(Q^{e,\text {ext.}}\) la fuente externa de electrones. Todas estas cantidades están discretizadas en el espacio fase \({{\mathscr {D}}}\). Según la clasificación [\({1}\,{\textrm{keV}}\), \({100}{\textrm{GeV}}\)] de Fano71, las interacciones consideradas son la bremsstrahlung (b), colisión inelástica /ionización (c), colisión elástica (e) Cascadas Auger, Coster-Kronig y super Coster-Kroning (a). Aunque las cascadas de fluorescencia se implementan en ELECTR, aquí limitamos nuestro estudio al transporte de electrones puro. El flujo de electrones satisface la condición de periodicidad. Su desarrollo en armónicos esféricos (\(R_{l}^{m}\)) se escribe como:

donde L se refiere al orden de Legendre. Los momentos de flujo \(\psi _{l,g}^m(\vec {r})\) se pueden obtener integrando la ecuación. 2 sobre todas las direcciones de incidencia y normalizando con el complejo conjugado \(R_{l}^{m^*}\). \(L^{\text {B}}\) describe la tasa de colisiones catastróficas. \(L^{\text {B}}\) tiene un núcleo invariante de rotación, es decir, sus funciones propias son los armónicos esféricos \(R_{l}^{m}\) y los valores propios asociados son los coeficientes de sección transversal de dispersión de Legendre , \(\Sigma _{s,l}^x\). x designa la interacción electroatómica, es decir, \(x\in \{a,b,c,e\}\). Usando la Ec. 2, descomponiendo las secciones transversales de dispersión en polinomios de Legendre, luego usando el teorema de adición de Legendre y finalmente explotando la ortogonalidad de los armónicos \(R_{l}^{m}\), el operador de Boltzmann se escribe como:

El operador \(L^{\text {FP}}_{g,n}\) se obtiene mediante una expansión polinomial de Taylor del operador \(L^{\text {B}}_{g,n}\) de Boltzmann alrededor de pequeñas pérdidas de energía y dispersión de ángulos pequeños72. Considerando solo la expansión de Taylor de primer orden, \(L^{\text {FP}}_{g,n}\) se puede escribir como la suma de la desaceleración continua (\(L^{\text {FP }_1}_{g}\)) y el operador de dispersión continua (\(L^{\text {FP}_2}_{g,n}\)).

\(\beta _{g}\) y \(\alpha _{g}\) designan, respectivamente, el poder de frenado restringido y la transferencia de momento restringida. La restricción se refiere a colisiones suaves. Aquí, la fuente considerada es monoenergética y unidireccional. Si \(Q_e(\vec {r})\) es la intensidad de la fuente y \({{\mathscr {D}}}_{Q}\) su dominio espacial:

Las ecuaciones del sistema. 1 y 5 se considera completo después de aplicar las condiciones de contorno.

El formalismo neutrónico73,74,75,76 se utiliza para definir matrices de transferencia de coeficientes de Legendre multigrupo electroatómicas (\(\Sigma _{l}^{x}\)) y secciones transversales totales multigrupo (\(\Sigma_{g}^t \)). Se utiliza una cuadratura de Gauss-Lobatto para evaluar todas las integrales en ELECTR. Los nodos y pesos se proporcionan hasta el décimo orden. Para una interacción dada, x, las secciones transversales catastróficas microscópicas están dadas por:

donde g y \(g'\) se refieren a los grupos de energía incidente y de transferencia, respectivamente. \(\phi _\ell\) es un componente de Legendre de la conjetura del flujo de electrones. Tanto para las interacciones de colisión como para las radiativas, se supone que un evento catastrófico es aquel en el que se produce una dispersión hacia abajo en grupos de energía no adyacentes. \({{\mathscr {F}}}(E)\) es un concepto unificador de la llamada función de alimentación. Este concepto fue introducido por MacFarlane et al.77,78 en los módulos NJOY GROUPR y GAMINR para secciones eficaces de producción de neutrones y fotones y se adapta aquí para secciones eficaces de producción de electrones. Solo cambia para diferentes tipos de datos. Para matrices, \({\mathscr {F}}_{lg'}^{x,0}(E_g)\) es el \({\ell }\)ésimo momento de Legendre de la probabilidad normalizada de dispersión en energía secundaria grupo \(g'\) a partir de la energía inicial \(E_g\). Para vectores, \({{\mathscr {F}}}^{x,0}(E_g)\) es la interacción de la sección transversal total del mismo grupo inicial \(E_g\). La forma general del m-ésimo momento de la \({\ell }\)ésima función de alimentación de grupo a grupo de orden de Legendre (MeV\(^{m}\) \(\cdot\)barns) viene dada por:

donde \({\hat{\Omega }}\) y \({\hat{\Omega }}'\) representan las direcciones de las partículas incidente y dispersada, respectivamente. \(P_l\) es el polinomio de Legendre. \(I_{g'}^{\textrm{x}}\) es el dominio de transferencia de electrones para la interacción x. La sección transversal de dispersión diferencial (DSC) viene dada por:

\({{\mathscr {P}}}_x\) es el kernel de distribución de energía diferencial microscópica, mientras que \({{\mathscr {D}}}_x\) se refiere al kernel de distribución angular diferencial microscópica (ambos para el x interacción).

Función de alimentación de ionización. Dos electrones emergen de cada subcapa atómica k-ésima ionización por un electrón incidente de energía \(E_g\): el electrón disperso y el rayo delta (también llamado electrón de retroceso). Por convención, la partícula con la energía más baja se identifica como el rayo delta, y la que tiene la energía más alta es el electrón dispersado principal. La función de alimentación de ionización total para el grupo \(g'\) es entonces la suma sobre todas las subcapas del m-ésimo momento del \({\ell }\)-ésimo orden de Legendre para la transferencia de electrones primarios al grupo \(g'\) ( \({{\mathscr {F}}}^{k,ee,m}_{\ell g'}(E_g)\)) y el m-ésimo momento del \({\ell }\)-ésimo orden de Legendre para producción de rayos delta y transferencia al grupo \(g'\) (\({\mathscr {F}}^{k,e\delta ,m}_{\ell g'}(E_g)\)), todo comenzando con energía incidente \(E_g\) que impacta en la k-ésima subcapa:

Sustituyendo la Ec. 7 en 9, las preguntas se convierten en (i) cómo procede ELECTR para \({\mathscr {P}}_{k,ee/e\delta }\) y \({{\mathscr {D}}}_{ k,ee/e\delta }\) distribuciones (Ec. 8); y (ii) cuáles son los dominios de transferencia \(I^{k,ee}_{g'}\) y \(I^{k,e\delta }_{g'}\) (Ec. 7) para electrones dispersos y delta. Depende del modo de funcionamiento, es decir, si es un modo de función de alimentación ENDF o CEPXS. Aquí, el "modo" de operación no debe confundirse con el "formato" de datos. En ambos casos, la energía y el ángulo de dispersión de los electrones primario y secundario se deducen de las leyes de conservación de la cinemática de colisión. En cualquier caso, se supone que no se transfiere energía cinética al átomo residual. Para el modo ENDF se utilizan cinemáticas de colisión de tres cuerpos, a saber: la partícula incidente, la secundaria emitida y la subcapa involucrada. Las distribuciones \({{\mathscr {P}}}_{k,e\delta }\) se proporcionan en la evaluación ENDF como MF=26, MT=534–572 para todos los materiales. Los valores MF y MT forman parte del formato ENDF-6 para datos nucleares evaluados. El valor de MF, que va de 1 a 99, codifica la clase de información (p. ej., MF=23: sección transversal de interacción, MF=26: distribución angular). El valor de MT, que va de 1 a 999, codifica el tipo de interacción (p. ej., MT=102: captura de neutrones, MT=527: bremsstrahlung de electrones). \({{\mathscr {D}}}_{k,ee}\) y \({{\mathscr {D}}}_{k,e\delta }\) son distribuciones delta de Dirac alrededor del coseno de el ángulo de dispersión de la partícula emitida. La energía de enlace de la subcapa y la sección transversal total de ionización (\(\sigma _k(E)\) en la ecuación 8) se proporcionan, respectivamente, en MF=28, MT=534–572 y MF=23, MT=534–572 . Los dominios de transferencia para el electrón primario y secundario están dados por:

donde \(E_{\text {cut}}\) es un límite de integración de umbral elegido para evitar la divergencia de las funciones de alimentación para colisiones catastróficas. E/2 es la energía cinética más baja que puede tener el electrón dispersado principal. Para el modo CEPXS, la ionización se realiza en un electrón libre y, por lo tanto, no existe una condición de umbral ni ninguna capa o subcapa atómica involucrada. Tanto para los electrones primarios como para los secundarios, el DSC (Ec. 8) es el de Møller, para el cual las distribuciones angulares siguen siendo distribuciones de Dirac alrededor del coseno de los ángulos de dispersión obtenidos, en este caso, por una cinemática de dos cuerpos79. A diferencia de los códigos MC de historia condensada, los modelos rezagados de pérdida de energía no son necesarios en ELECTR ya que las distribuciones \({\mathscr {P}}_{k,e\delta }\) diferenciales ya tienen en cuenta este efecto.

Bremsstrahlung funciones de alimentación. Un electrón y un fotón emanan de esta interacción. Ya sea para el modo ENDF o CEPXS, no se permite ninguna desviación angular para el electrón bremsstrahlung. \({{\mathscr {D}}}_{b}\) en la ecuación. 8 es por lo tanto una distribución delta de Dirac alrededor de \({\hat{\Omega }}\cdot {\hat{\Omega }}'=1\). El fotón, tanto para los modos ENDF como para CEPXS, se emite según una distribución angular de Sommerfeld80. Las energías de las dos partículas se obtienen por el balance de conservación. ecuaciones 7 y 8 se puede simplificar, en este caso, de la siguiente manera:

\(E_{\text {min}}\) es el límite de alta frecuencia de la divergencia de bremsstrahlung. Se fija en 1 keV para ambos modos. \(E_{\text {cut}}\) tiene la misma definición que en la ecuación. 10. Para el modo ENDF, \({{\mathscr {P}}}_b\) y \(\sigma _b\) en la ecuación. 11 se interpolan, respectivamente, de MF=26, MT=527 y MF=23, MT=527, teniendo en cuenta la producción de bremsstrahlung en el núcleo y los campos eléctricos de Coulomb. Para el modo CEPXS, la distribución se implementa analíticamente según el ensamblaje DSC de Koch y Motz basado en la aproximación relativista de Born con corrección de Coulomb81. Los parámetros empíricos, por ejemplo, las correcciones de Elwert y los factores de detección, se recuperan de la base de datos CEPXS Tape966. El DSC de Koch y Motz también diverge cuando la energía del fotón se aproxima a la del electrón incidente82. El mismo dominio \(I_{g'}^b\) introducido en la ecuación. 11 también se utiliza en este modo. La producción de Bremsstrahlung a partir de la interacción con el campo de los electrones atómicos se contabiliza modificando el factor \(Z^2\) de Koch y Motz por \(Z(Z+1)\).

Función de alimentación elástica El electrón disperso por el núcleo se desvía sin cambios en la energía (\({\mathscr {P}}_e=\delta _{gg'}\)). Las ecuaciones 7 y 8 se simplifican de la siguiente manera:

Para el modo ENDF, \(\sigma _{\textrm{e}}(E_g)\) se interpola desde MF=23, MT=525. Para una gran dispersión angular (\(\mu \in [-1.0, 0.999999]\)), la distribución \(D_{\textrm{e}}\) se interpola desde MF=26, MT=52583. Para la dispersión frontal (\(\mu \in [0.999999,1.0]\)), se implementa el Coulomb DSC84,85 analítico apantallado de Seltzer. Según la clasificación EEDL de Cullen83, la dispersión elástica se considera grande o con un pico hacia adelante. Para todos los átomos, las distribuciones angulares ENDF se proporcionan por debajo y por encima de \({256}\,{\textrm{keV}}\). En el modo CEPXS, el Mott DSC con apantallamiento de Molière86 se usa para energías relativistas (\(E_g>{256}\,{\textrm{keV}}\)), mientras que el Riley DSC87 se usa para energías más bajas. Para las distribuciones de Mott y Riley, y en lugar de evaluar los momentos de Legendre en la ecuación. 12 con cuadraturas, el modo CEPXS utiliza el enfoque semianalítico de Berger88 basado en la distribución de Goudsmit-Saunderson y las funciones de Spencer89. Todos los parámetros empíricos se recuperan de la base de datos CEPXS66. El paso final en ambos modos es modificar el l-ésimo orden de Legendre de la función de alimentación elástica mediante una corrección de transporte extendida, similar a la propuesta por Bell para neutrones90 en física de reactores nucleares. La función de alimentación elástica dentro del grupo corregida por el transporte viene dada por:

donde L es el orden máximo de Legendre. Como lo muestra Morel para los electrones91, dicha aproximación hace que el núcleo de dispersión elástica con un pico hacia adelante sea compatible con la expansión de Legendre de bajo orden y, potencialmente, un reemplazo para \(L^{\text {FP}_2}\) en la ecuación. 4.

Cascada de relajación de barrena. En ambos modos, se supone que los electrones Auger se emiten isotrópicamente. Sea j la línea de transición, \(\eta _{kj}^e\) su eficiencia de relajación (es decir, que la \(j\)ésima transición produce un electrón Auger siguiendo la ionización por impacto de la késima capa o subcapa), la \ El (m\)momento del \(l\)ésimo orden de Legendre de la función de alimentación de producción Auger está dado por:

Las funciones de alimentación de producción de Auger de orden superior son idénticamente cero. \(g_j\) es el grupo de electrones que contiene la \(j\)ésima energía Auger emitida, mientras que \(e_{kj}^e\) se refiere a la energía real de los electrones Auger, Coster-Kronig o super Coster-Kronig. \(N_{\text {tr}}\) es el número de posibles transiciones atómicas. Para el modo ENDF, las probabilidades de transición y los espectros de partículas emitidas se interpolan a partir de MF=28, MT=534–572, que describen la ionización de la subcapa para las capas K1 a O5. Para el modo CEPXS, solo las capas K, L1, L2, L3 y M están involucradas en las cascadas de relajación, lo que resulta en \(N_{\text {tr}}=28\) transiciones diferentes después de un evento de impacto. Además, para este modo, \(e_{kj}^e\) se expresa en términos de la energía del grupo del punto medio en lugar de la radiación de la línea. Las energías de enlace y los parámetros de probabilidad se almacenan en cantidades de relajación Tape966. Para ambos modos, el algoritmo de relajación no contribuye a la velocidad de reacción total.

Secciones transversales macroscópicas totales. Para todas las interacciones, la sección transversal catastrófica total se puede obtener sumando la función de alimentación de grupo a grupo (Ec. 7) sobre todos los ángulos de incidencia:

El límite superior de \(I_{g'}^{x}\) (Ecs. 15 y 8) se establece de tal manera que el umbral de energía se selecciona arbitrariamente en la interfaz \(E_{g-1}\) entre colisiones blandas y catastróficas. Su límite inferior es la energía más baja que podría tener el electrón dispersado (p. ej., E/2 para la dispersión de Møller).

Las potencias de parada totales (MeV\(\cdot\)barns) se convierten en formato ENDF-6 a ​​partir de la evaluación de Berger92. ELECTR interpola los poderes de frenado totales colisionales (\({{\mathscr {S}}}^c_g\)) y radiativos (\({{\mathscr {S}}}^b_g\)) de la conversión MF=23, MT =507 y MF=23, MT=508 secciones, respectivamente. Dado que Bethe \({{\mathscr {S}}}^c_g\) muestra imperfecciones por debajo de \({10}\,{\textrm{keV}}\), debido a la negligencia de las desviaciones del plasmón, los electrones de las subcapas internas y electrones de conducción93, ELECTR corrige \({{\mathscr {S}}}^c_g\) por debajo de \({10}\,{\textrm{keV}}\) utilizando la extrapolación de la ley de potencia de Lorence66. Los poderes de frenado catastróficos, \({{\mathscr {M}}}^c_g\) y \({{\mathscr {M}}}^b_g\), se toman como el primer momento de la sección transversal catastrófica total. Antes de promediarse, los poderes de frenado restringidos se evalúan en todos los límites del grupo excepto en el último.

donde, para \({{\mathscr {M}}}_g\), seguimos las recomendaciones más modernas al integrar los DSC de Møller (en la Ec. 16) y Koch y Motz (en la Ec. 17). Los límites de las integrales son idénticos a los anteriores, es decir, un límite inferior de no divergencia y un límite superior de interfaz catastrófica blanda. La potencia de frenado restringida total (Ec. 4) es la suma de las Ecs. 16 y 17. En este estudio, la falta de poderes de frenado por debajo de \({1}\,{\textrm{keV}}\) impone un corte de transporte en \({1}\,{\textrm{keV}}\) . Este corte está en línea con las recomendaciones hechas por Salvat a Cullen para los datos de EPICS-201783,94,95. También cumple con los límites de corte predeterminados de Penelope96, Egsnrc97 y Fluka98.

La sección transversal de deposición de energía (MeV\(\cdot\)barns) representa la energía depositada en cada interacción electrón-materia. Puede tomar un valor positivo (deposición de energía local) o negativo (eliminación de energía local). La energía transportada con el electrón disperso o el electrón Auger, Coster-Kronig o súper Coster-Kronig emitido son ejemplos típicos de secciones transversales de deposición de energía negativa. Esta cantidad es central para una evaluación de dosis determinista al resolver la ecuación BFP. Contribuyen tres fenómenos: colisión inelástica, bremsstrahlung y cascadas Auger. En los dos primeros casos, se deben sumar las contribuciones de las colisiones blandas y catastróficas. Las secciones transversales de deposición de energía de colisión inelástica y de bremsstrahlung están dadas por

La deposición de energía de relajación es simplemente el primer momento negativo de la función de alimentación de producción Auger (Ec. 14).

Las secciones transversales de deposición de carga dan cuenta del cómputo de un solo electrón, es decir, su deposición y eliminación, del sitio de interacción. Por lo tanto, se obtienen de la misma manera que las Ecs. 18–20 deposiciones, excepto con momentos cero de las funciones de alimentación. Las funciones de alimentación de deposición de carga están, por definición, asociadas con interacciones de absorción distintas de cero, y vienen dadas por:

Ambos conceptos \({{\mathscr {E}}}_{g'}^{x}\) y \({{\mathscr {C}}}_{g'}^{x}\) fueron introducidos por Lorence et al.66, utilizados por Acuros para la distribución de dosis dentro del paciente y la cuantificación de daños53 y se generalizan aquí para el módulo ELECTR.

La dosis depositada se calcula en el solucionador Dragon-5. Se necesitan dos cantidades: (1) la distribución de flujo multigrupo (\(\Phi _g\)) obtenida en Dragon-5 después de resolver la ecuación. 1 e integrando en todas las direcciones; y (2) las secciones transversales de deposición de energía proporcionadas por ELECTR (ecuaciones 18 a 20). Sea T el tiempo de irradiación y \(\rho\) la densidad de vóxeles, la distribución de la dosis total (en Gy) viene dada por:

donde \(E_g\) se refiere a la energía del punto medio para el grupo g y \(\langle E \rangle _g\) a la energía promedio ponderada por flujo para el grupo g. ecuación 24 muestra tres componentes: (1) deposición de energía catastrófica; (2) desaceleración continua (\(\beta _g \Phi _g\)) y 3) depósito de energía por debajo del límite (\(\beta _N \Phi _N\)). Si un electrón alcanza una energía por debajo de \({1}\,{\textrm{keV}}\), se detiene y su energía se deposita localmente. Como explican Morel et al.99, manipulando la Ec. 24 y usando las ecuaciones. 18-20, la dosis depositada se simplifica de la siguiente manera:

Primero se genera un archivo ENDF puntual (PENDF), que contiene secciones transversales de electrones en una red de energía unionizada y linealizada, utilizando el módulo NJOY RECONR. Una representación simplificada del núcleo del algoritmo ELECTR se muestra en el Algoritmo 1. ELECTR primero lee la entrada del usuario. El material deseado (MAT) se ubica entonces en las cintas de entrada PENDF y ESTOP de potencia de frenado. Los poderes de frenado no se proporcionan en los datos EPICS-2017. Se ha desarrollado un módulo CONVER en NJOY para convertir las potencias de frenado totales de CEPXS (Cinta 9) en formato ENDF-6 legible por ELECTR. Para la subcapa de cada átomo, la subrutina erelax almacena la energía de enlace, el tipo de transición (radiativa o no), su eficiencia y la energía de la partícula emitida. Los grupos de destino Fluorescencias, Augers, Coster-Kronig y Super Coster-Kronig se fijan de acuerdo con la estructura del grupo de usuarios.

Para cada proceso de interacción, la lógica del panel del módulo NJOY GROUPR se adapta a las secciones transversales catastróficas microscópicas promedio (Ec. 6). Dado que cada integrando en Eq. 6 tiene características propias, las primeras llamadas y operaciones tienen como objetivo unificar la cuadrícula de integración y los esquemas de cuadratura y detectar discontinuidades. Se llama a la subrutina etsig para interpolar PENDF \(\sigma _x\) en \(E_g\) la energía de incidencia y devuelve la siguiente energía de cuadrícula. Las subrutinas etflx y eetff realizan operaciones similares para las funciones de flujo y alimentación de electrones. La subrutina eetsed se llama tanto en núcleos eetff como epanel. En la primera llamada, se asigna almacenamiento temporal y se leen todas las subsecciones de ENDF. En la segunda llamada, los núcleos de distribución angular y de energía (\({{\mathscr {P}}}_x\) y \({{\mathscr {D}}}_x\) en la Ec. 8) se interpolan utilizando la técnica de interpolación de base unitaria. Luego se genera una cuadrícula de unión para los tres integrandos \(\sigma _x\), \(\phi _x\) y \({{\mathscr {F}}}^x\). El algoritmo de integración es equivalente al algoritmo adaptativo heredado de Minx100.

Las matrices de transferencia catastrófica de grupo a grupo se calculan para todos los grupos de energía secundarios y todos los órdenes de Legendre simultáneamente. Después de que se procesan todas las reacciones para este átomo, se llama a un pase especial para calcular y almacenar las secciones transversales catastróficas totales, las secciones transversales de deposición de carga y energía totales, así como los poderes de frenado restringidos totales. El módulo de posprocesamiento MATXSR actualizado de NJOY formatea la biblioteca GENDF generada en un solo conjunto de datos multigrupo independiente al que se puede acceder mediante una variedad de códigos de celosía y ordenadas discretos heredados. La biblioteca MATXS se utiliza junto con Dragon-5 BFP solver67. Nuestro esquema computacional determinista es el siguiente. Dependiendo de la densidad y composición de la mezcla, los módulos \(\texttt {LIB:}\) y \(\texttt {MAC:}\) extraen, preparan y convierten las secciones transversales microscópicas en macroscópicas, respectivamente. La autopolarización media reduce la potencia de frenado por colisión. Este último aparece tanto en el poder de frenado restringido (Ec. 16) como en la sección transversal de deposición de energía (Ec. 18). Se implementa y aplica una corrección del efecto de densidad de Sternheimer101,102 en Dragon-5 en ambas cantidades (STERN 1). Las mezclas de regiones con condiciones límite de vacío están definidas por el módulo GEO:. El módulo SNT: genera líneas de integración de ordenadas discretas, punteros de identificación de región y toda la información de seguimiento. Se utiliza una diferenciación de diamantes de alto orden (HODD) para la discretización espacial con un orden espacial lineal de Legendre103. Se impuso un criterio de convergencia de \(1\times 10^{-5}\) en las iteraciones internas de flujo. Se llama al módulo PSOUR: para calcular la ecuación. 1 término fuente del lado derecho. Dado que limitamos nuestro estudio al transporte de electrones puro, PSOUR: no calculará las fuentes de fotones de fluorescencia y bremsstrahlung correspondientes. El módulo de ensamblaje ASM recupera las longitudes de seguimiento y los números de material del seguimiento secuencial anterior y calcula las matrices del sistema dependientes del grupo BFP. La ecuación lineal multigrupo BFP es finalmente resuelta por el módulo FLU:. El flujo de electrones multigrupo y la sección transversal de deposición de energía macroscópica se utilizan para calcular las distribuciones espaciales de dosis mediante el módulo HEAT:.

Geometría de los puntos de referencia: (a) punto de referencia del agua; (b) punto de referencia del tórax; (c) punto de referencia quirúrgico intraoperatorio y (d) punto de referencia de alta heterogeneidad. Las composiciones materiales son las del NIST. La fuente de electrones es monoenergética y unidireccional. Las dimensiones laterales y las dimensiones de la fuente se fijan al rango del haz incidente. A partir de estas dimensiones se deduce entonces el porcentaje de los espesores de los materiales. Las dimensiones longitudinales son infinitas.

Proponemos una validación de la cadena NJOY-Dragon con un conjunto de puntos de referencia de complejidad creciente. Además, se considera que un aumento gradual en la energía del haz desafía la anisotropía de Legendre, el orden \(S_{N}\), la corrección de transporte determinista y el número de grupos de energía. En la categoría de puntos de referencia de heterogeneidad de cero a media, la Fig. 1a–c ilustra los estudios de caso a considerar, donde un haz de electrones unidireccional irradia una losa de agua homogénea (W), un punto de referencia de tórax (T) (agua [\(13\ %\)], hueso [\(7\%\)], pulmón [\(22\%\)] y agua [\(58\%\)]) y una radioterapia intraoperatoria de electrones (IORT) de mama benchmark (tumor [\(40\%\)], Al [\(40\%\)], acero [\(15\%\)] y tejido [\(5\%\)]). Las dimensiones laterales de los puntos de referencia están fijadas al alcance del haz incidente. A partir de estas dimensiones se deduce entonces el porcentaje de los espesores de los materiales. Las dimensiones longitudinales en Geant-4 son infinitas. La ecuación BFP en Dragon-5 se resuelve en 1D. Esta estrategia permite estudiar el rendimiento neto de la biblioteca multigrupo sobre el perfil de dosis en profundidad sin que se produzca una acumulación de errores numéricos relacionados con la resolución de la Ec. 1 en 2D y 3D. Evitamos así los efectos de los rayos, una discretización angular exorbitante del kernel de transporte y las consecuencias negativas de la alta dimensionalidad de las matrices de dispersión de Legendre. El uso de haces unidireccionales aumenta la complejidad computacional así como el tiempo de CPU por dos razones. La primera es que se imponen interacciones más focalizadas por unidad de longitud.

Curvas de dosis en profundidad de NJOY-Dragon-5 (líneas sólidas) en comparación con Geant-4 (círculos) para haces de electrones unidireccionales de 1 a \({20}\,{\textrm{MeV}}\) incidentes en: (a) agua punto de referencia; (b) punto de referencia del tórax; (c) índice de referencia IORT y (d) índice de referencia de alta heterogeneidad. El inserto muestra el error relativo de Dragon-5 con respecto a Geant-4. La normalización de cualquier error relativo presentado se realiza con respecto a la dosis máxima observada para el haz incidente. Las convergencias de Monte Carlo se obtienen para una desviación estándar media de \(0,2\%\).

La segunda es que se evitan los efectos compensatorios de los errores de dosis en las interfaces y en la acumulación de incidencias isotrópicas. El W-benchmark es un estudio de caso rudimentario, que sigue siendo de interés clínico tanto para la verificación de la calibración diaria como para la planificación del tratamiento. El T-benchmark introduce un primer nivel de complejidad con heterogeneidades delgadas de alta y baja densidad. Este último resalta los efectos de la interfaz. El punto de referencia IORT introduce un segundo nivel de complejidad dentro del paciente que combina heterogeneidades internas (tejidos) y externas (instrumentales). Las heterogeneidades de alto Z resaltan el efecto de protección antes de un OAR típico. Las energías del haz incidente varían de 1 a \({20}\,{\textrm{MeV}}\), cubriendo todo el espectro de energía de los aceleradores de investigación clínica y médica104. Esto también cubre todo el espectro de haces clínicos de radioterapia electrónica y radiocirugía. Aunque los tratamientos con haces de electrones representan solo entre el 10 y el 15 % de la carga de trabajo diaria en las prácticas clínicas14 y están disminuyendo constantemente con el desarrollo de IMRT105, el desarrollo de capacidades puras de transporte de electrones sigue siendo el paso preliminar antes de [\(\gamma ,\text {e} ^-,\text {e}^+\)] transporte para tratamientos con haces de fotones.

Curvas de dosis en profundidad de Njoy-Dragon-5 (líneas continuas) en comparación con Geant-4 [G4EmLivermore (círculos)] para haces de electrones unidireccionales incidentes alrededor de la losa del T-bone. Las losas mostradas incluyen de izquierda a derecha: agua, hueso y tejido pulmonar. Las dimensiones se fijan al rango del haz incidente. Las convergencias de MC se obtienen para una desviación estándar media de \(0.2\%\).

Aquí, nuestros objetivos son: (1) demostrar la precisión del módulo ELECTR y (2) resaltar, si las hay, las limitaciones de las funciones de alimentación de CEPXS. Como consecuencia inmediata, la reducción del tiempo de CPU no es de interés en este estudio. Por esta razón, aquí no se analizan más optimizaciones de parámetros deterministas (\(N_{g},P_l,S_N,{{\mathscr {D}}}_r\)), donde \({{\mathscr {D}} }_r\) se refiere a la discretización del dominio espacial. Los parámetros conservadores se seleccionan para eliminar el sesgo determinista al evaluar la precisión del módulo ELECTR. Por lo tanto, todos los esquemas computacionales se basaron en \(N_g=300\) grupos, \(S_{48}\) orden y \({{\mathscr {D}}}_r\ge 500\) elementos. La anisotropía de Legendre se fija en \(P_9\) para 1 a \({6}\,{\textrm{MeV}}\), \(P_{10}\) para 7 a \({9}\,{\ textrm{MeV}}\), \(P_{11}\) de 10 a \({14}\,{\textrm{MeV}}\) y \(P_{12}\) de 15 a \({ 20}\,{\textrm{MeV}}\) haces de electrones. Se realizaron cálculos de convergencia para respaldar tales elecciones. Solo se transportan electrones. Los haces incidentes se suponen limpios y sin contaminación.

Para el esquema de referencia Geant-4, se consideran eventos primarios \(15\times 10^{6}\) para una incertidumbre estadística \(0.2\%\) (o mejor) en cada material. A menos que se especifique lo contrario, consideramos el constructor de física G4EmLivermore basado en datos EPICS (EADL94, EEDL83 y EPDL95). Para ser consistente con Dragon-5, el límite de transporte y el umbral de producción secundaria se fijan en \({1}\,{\textrm{keV}}\). La identidad de cada partícula secundaria se verifica en cada paso de la pista. Los fotones de fluorescencia y bremsstrahlung se eliminan así en el punto de nacimiento. La Figura 2a muestra las curvas de dosis en profundidad de Dragon-5 frente a Geant-4 para el punto de referencia W (Fig. 1a). A medida que aumenta la energía del haz, la acumulación se extiende y, por lo tanto, los requisitos de Legendre son mayores. Observamos que la inflexión de acumulación dicta el requisito de orden \(P_l\). Esto puede explicarse por la anisotropía creciente de Mott y Møller con la energía del haz. El inserto muestra la desviación relativa de BFP con respecto al esquema MC. Esto se obtuvo, en el posprocesamiento, siguiendo una unificación de rejilla cúbica Hermite por partes de los detectores de dosis Geant-4 y Dragon-5. El error BFP-MC medio (en valor absoluto) es de 0,43\(\%\), 0,58\(\%\), 0,52\(\%\) y 0,53\(\%\), respectivamente, en 1, 9, 15 y 20 MeV. Este promedio es en todo el dominio espacial. La Tabla 1 muestra el porcentaje de vóxeles que satisfacen el criterio \(2\%\). Para todos los haces examinados, 100\(\%\) de los vóxeles de agua satisfacen este criterio. Este acuerdo se reduce a 85\(\%\) para un criterio de desviación de 1\(\%\) BFP-MC. La Figura 2b muestra las curvas de dosis en profundidad de Dragon-5 frente a Geant-4 para el punto de referencia T (Fig. 1b). El aumento de la anisotropía de Legendre con la energía es cierto para todos los puntos de referencia. En \({9}\,{\textrm{MeV}}\), el error BFP-MC medio es 0,76\(\%\), 0,53\(\%\), 0,68\(\%\) y 0,50 \(\%\), respectivamente, en la primera losa de agua, hueso, pulmón y la última losa de agua. Para los mismos materiales, estas desviaciones son del orden de 0,62\(\%\) (0,62\(\%\)), 0,93\(\%\) (0,80\(\%\)), 0,48\(\ %\) (0.40\(\%\)) y 0.57\(\%\) (0.62\(\%\)) para el \({15}\,{\textrm{MeV}}\) (\( {20}\,{\textrm{MeV}}\)) haz. De la Tabla 1, 98.2\(\%\), 99.2\(\%\), 98.4\(\%\) y 99.4\(\%\) de los vóxeles del tórax satisfacen el criterio \(2\%\), respectivamente, en 1, 9, 15 y \({20}\,{\textrm{MeV}}\). En \({1}\,{\textrm{MeV}}\), hay una pérdida de precisión en los vóxeles pulmonares en comparación con los haces de mayor energía. La ligera pérdida de concordancia BFP-MC, en algunos vóxeles, es causada por la interfase ósea. Si no se tiene en cuenta la discontinuidad de la interfaz ósea, el 99,8\(\%\) de los vóxeles del tórax satisfacen el criterio \(2\%\) (todos los haces combinados). La Figura 3 señala que la forma en que Geant-4 maneja esta discontinuidad es ambigua. Probamos otros constructores de listas de física, a saber, G4EmPenelope, G4EmLowPhysics, G4EmStandard y G4EmStandard_opt4. Persisten los mismos fracasos que los de G4EmLivermore (Fig. 3). Esta falla de Geant-4 se puede corregir (1) obligando al tamaño del paso de electrones a no exceder \(25\%\) del grosor del vóxel; o (2) optimizando las constantes de control del algoritmo de historia condensada (CH) G4UrbanMscModel106. El equipo de Geant-4 aconseja la opción 1. Aunque más física, la opción 2 consume mucho tiempo107. Finalmente, la interpolación de Hermite cúbica por partes de posprocesamiento de la dosis de Geant-4 para una comparación de MC-BFP de cuadrícula de vóxel única hace que esta anomalía única se propague en vóxeles intermedios, lo que reduce aún más el porcentaje en la Tabla 1.

Curvas de dosis en profundidad de Njoy-Dragon-5 (líneas sólidas) en comparación con Geant-4 [G4EmLivermore (círculos)] para haces de electrones unidireccionales incidentes alrededor del tumor [izquierda] - transición de aluminio [derecha] en el punto de referencia de IORT. Las dimensiones se fijan al rango del haz incidente. Las convergencias de MC se obtienen para una desviación estándar media de \(0.2\%\).

Las mismas curvas de dosis en profundidad para el punto de referencia de IORT (Fig. 1c) se representan en la Fig. 2c. Las dosis en las interfases de aluminio, así como dentro de la acumulación del tumor, coinciden estrechamente entre Dragon-5 y Geant-4. Para el haz de \({9}\,{\textrm{MeV}}\), la desviación promedio de BFP-MC es 0.60\(\%\), 0.98\(\%\), 0.00\(\%\) y 0,00\(\%\), respectivamente, en tejido tumoral, aluminio, acero y tejido mamario. Estas desviaciones son de 0,47\(\%\) (0,46\(\%\)), 0,99\(\%\) (0,92\(\%\)), 0,00\(\%\) (0,00\(\ %\)) y 0,00\(\%\) (0,00\(\%\)) para el \({15}\,{\textrm{MeV}}\) (\({20}\,{\textrm {MeV}}\)) rayo. Las dosis de electrones de Dragon-5 y Geant-4 son cero en la losa de acero y el tejido mamario, lo que significa que se logró una atenuación completa del haz en la losa de aluminio para ambos códigos. La anomalía de la interfaz T-bone (Fig. 3) desaparece en la interfaz de aluminio. El porcentaje de vóxeles que satisfacen el criterio \(2\%\) es 99,27\(\%\), 94,55\(\%\), 96,00\(\%\) y 96,36\(\%\), respectivamente, para 1, 9, 15 y \({20}\,{\textrm{MeV}}\) haces. El 99,7\(\%\) de los vóxeles de tumor y tejido mamario satisfacen el criterio \(2\%\). La Figura 4 confirma que las discrepancias BFP-MC se observan dentro de la acumulación de \(_{13}\)Al y no en la interfaz tumor-\(_{13}\)Al.

El uso de otros constructores de listas de física no solucionará este error. Mostraremos que hay una coincidencia aceptable (menos de \(2\%\)) entre la dosis predicha por Geant-4 y Dragon-5 en placas de \(_{13}\)Al homogéneas para todas las profundidades y vigas. El error de acumulación de \(_{13}\)Al puede corregirse, como para el T-bone (Fig. 3), ya sea forzando el seguimiento o refinando el método de historial condensado. Tan pronto como la partícula ingresa a un nuevo volumen o comienza una nueva pista, su paso s se reinicializa de acuerdo con \(s=f_{r} \max (R,\lambda _1)\), donde R es el rango de electrones y \(f_{r}\) (\(\in [0,1]\)) es una constante de control. Aquí, se supone que todas las secciones transversales son constantes a lo largo de s. Es aconsejable (1) restringir el valor de s para que la potencia de frenado no varíe más de \(20\%\) durante el paso 108 o (2) reducir s a menos de \(25\%\ ) del ancho del detector. Por lo tanto, se debe llamar a la SetStepFunction pública de la clase base G4VMultipleSacttering para un mayor control del paso de electrones. Es necesario optimizar con precisión dos parámetros internos: (1) dRoverRange, que impone un tamaño de paso máximo dado por la relación paso/rango y (2) el rango final. El transporte de electrones MC se vuelve extremadamente lento; resolver esto está más allá del alcance del trabajo actual.

Además, no hay interés clínico en ser precisos en la predicción de la deposición de dosis en la losa de \(_{13}\)Al. Sin embargo, la pérdida parcial de precisión en el tejido tumoral (\(0.5\%\) de vóxeles, Tabla 1) es causada por el efecto de retrodispersión \(_{13}\)Al. El error máximo permanece por debajo de \(2.48\%\) (todos los vóxeles, haces y materiales combinados). Uno puede cuestionar la validez del corte de transporte \({1}\,{\textrm{keV}}\) impuesto por los datos CEPXS. El rango de un electrón \({1}\,{\textrm{keV}}\) en un tejido es \({5}\,{\upmu {\textrm{m}}}\). Tomando el peor escenario estudiado aquí, un haz de \({1}\,{\textrm{MeV}}\), típico para el cáncer epitelial de piel no melanoma, tendrá un rango de \({0.5}\,{\textrm {cm}}\). Con la densidad de 500 vóxeles utilizada en Dragon-5, esto resulta sistemáticamente en un vóxel que tiene un grosor de \({10}\,{\upmu {\textrm{m}}}\); es decir, un vóxel dos veces mayor que el alcance del electrón.

Las curvas de dosis en profundidad de Dragon-5 en comparación con las de Geant-4 en el punto de referencia similar al paciente de alta heterogeneidad (HH) (Fig. 1d) se representan en la Fig. 2d. Se observa una buena concordancia BFP-MC para cualquier viga, material, interfaz y/o acumulación. Este punto de referencia agrega un nuevo nivel de complejidad mayor que los estudios de casos anteriores de tórax y IORT. Los efectos de retrodispersión de electrones son más frecuentes, más intensos y tienen una consecuencia directa sobre la dosis. A diferencia del punto de referencia T (Fig. 3), el inserto en la Fig. 2d muestra que las discrepancias de las interfaces son mucho menores y no observamos fallas en las interfaces óseas.

Diferencias relativas de BFP-MC en perfiles de deposición de energía versus profundidad para haces seleccionados de 4, 10 y \({15}\,{\textrm{MeV}}\) de \(Z=3\) a \(Z=34\) . Las dimensiones de las losas irradiadas se fijan al alcance del haz dentro del material irradiado. Las convergencias de Monte Carlo se obtienen para una desviación estándar media de \(0,2\%\).

Diferencias relativas de BFP-MC en los perfiles de deposición de energía frente a la profundidad para haces seleccionados de 4, 10 y 15 MeV de \(Z=35\) a \(Z=66\). Las dimensiones de las losas irradiadas se fijan al alcance del haz dentro del material irradiado. Las convergencias de Monte Carlo se obtienen para una desviación estándar media de \(0,2\%\).

Diferencias relativas de BFP-MC en los perfiles de deposición de energía frente a la profundidad para haces seleccionados de 4, 10 y 15 MeV de \(Z=67\) a \(Z=98\). Las dimensiones de las losas irradiadas se fijan al alcance del haz dentro del material irradiado. Las convergencias de Monte Carlo se obtienen para una desviación estándar media de \(0,2\%\).

(a) Njoy-Dragon-5 errores relativos medios en los perfiles de deposición de energía con respecto a Geant-4 en función de la energía del haz incidente. Las curvas están limitadas a los átomos de Clase-I y -II. (b) Porcentaje de vóxeles de losas atómicas homogéneas que satisfacen una diferencia de dosis relativa de \(2\%\) BFP-MC frente a Z. Las convergencias de Monte Carlo se obtienen para una desviación estándar media de \(0,2\%\).

Esto puede explicarse por el contrabalanceo de errores de la retrodispersión de las losas vecinas, dado que pasamos de 4 (T) a 11 (HH) losas. El error relativo promedio de BFP-MC es de \(0.55\%\), \(0.56\%\), \(0.57\%\) y \(0.57\%\), respectivamente, en 1, 9, 15 y \({20}\,{\textrm{MeV}}\). La Tabla 2 muestra el porcentaje de vóxeles que satisfacen el criterio \(2\%\) para cada una de las 11 losas. Para todo el punto de referencia HH, un mínimo de \(99,18\%\) de vóxeles satisfacen el criterio \(2\%\), todos los haces combinados. El porcentaje de vóxeles HH que satisfacen un límite de \(1\%\) discrepancia BFP-MC es de \(77.82\%\), \(78.55\%\), \(84.36\%\), \( 82,55\%\), respectivamente, para haces de 1, 9, 15 y \({20}\,{\textrm{MeV}}\) electrones.

Los puntos de referencia anteriores se limitan al contexto de la oncología radioterápica. Respondemos ahora a la pregunta de cuál sería el límite del modo CEPXS en ELECTR para haces de 1 a \({20}\,{\textrm{MeV}}\). Luego proponemos una irradiación de electrones de losas homogéneas sucesivas que cubren toda la tabla periódica. Las dimensiones de las losas siempre están fijadas al rango de la viga incidente. El transporte queda restringido a los electrones sin considerar los efectos de la contaminación. Las Figuras 5, 6 y 7 muestran el error relativo de BFP-MC en los perfiles de deposición de energía en función de la profundidad del material desde \(Z=3\) (litio) hasta \(Z=98\) (californio). Se sigue la deposición de energía hasta que se logra la atenuación completa del haz. Como criterio de precisión aceptable, tomamos una discrepancia MC-BFP por debajo del umbral de \(2\%\), es decir, en conformidad con los estándares de oncología radioterápica14,50. Aparte de algunas excepciones, que desarrollamos a continuación, el criterio de \(2\%\) se cumple para casi todos los vóxeles y energías de haz, desde \(Z=3\) (litio) hasta \(Z=58 \) (cerio) (Figs. 5, 6).

El rango de \(_3\)Li a \(_{58}\)Ce forma una primera clase de interés para CEPXS, que denotamos Clase-I. Desde \(_{59}\)Pr, observamos la aparición de una desviación sistemática de MC-BFP desencadenada alrededor de \(D_{\text {max}}\), la profundidad de la dosis máxima. En general, el último error aumenta y se expande con Z, independientemente de la energía del haz. Para el haz de \({15}\,{\textrm{MeV}}\), en \(D_{\text {max}}\), va de \(2,268\%\) a \(2,296\% \), \(3.080\%\), \(3.381\%\), \(3.392\%\) respectivamente, para \(_{60}\)Nd, \(_{61}\)Pm, \ (_{62}\)Sm, \(_{63}\)Eu y \(_{64}\)Gd losas (Fig. 6). Aumenta lentamente de \(_{59}\)Pr a \(_{92}\)U, donde se estanca alrededor de \(4.62\%\) en \(D_{\text {max}}\) ( Figura 7). El aumento de la brecha MC-BFP en la expansión espacial alrededor de \(D_{\text {max}}\) es \(\sim 4\%\) (del total de vóxeles) por aumento de Z de \(_{59 }\)Pr a \(_{92}\)U. Para esta segunda clase de interés de \(_{59}\)Pr a \(_{92}\)U, que denotamos Clase-II, la falla se refiere solo a la región alrededor de \(D_{\text {max} }\). La acumulación y la región de la cola están a salvo. Surge una tercera clase CEPXS de interés de \(_{93}\)Np a \(_{99}\)Es, denominada Clase-III, para la cual la divergencia BFP-MC es total y considerable (Fig. 7). Hay excepciones a esta clasificación. Primero, el transporte de BFP es ambiguo para losas gaseosas, por ejemplo, \(_{1}\)H, \(_{2}\)He, \(_{9}\)F y \(_{54}\) Xe. Comprender el origen de esta anomalía determinista del transporte en medios gaseosos está más allá del alcance de este estudio. La literatura tampoco aborda este tema. En segundo lugar, \(_{32}\)Ge es una excepción al desempeño de los materiales Clase-I (Fig. 5), es decir, la falla es total para esta losa (\(\sim 15\%\) en \( {15}\,{\textrm{MeV}}\) alrededor de \(D_{\text {max}}\)). En tercer lugar, el excelente rendimiento de las placas \(_{85}\)At y \(_{87}\)Fr es inesperado para los átomos de clase II (Fig. 7). Por lo tanto, retenemos que las funciones de alimentación de CEPXS en ELECTR son aceptables desde \(Z=1\) hasta \(Z=58\), \(_{85}\)At y \(_{87}\)Fr, excepto para \(_{32}\)Ge, \(_{3}\)Li, \(_{4}\)Be y medios puramente gaseosos.

Además, observamos que la disminución de las densidades de los materiales de Clase II de los de NIST a \({1.0}{\mathrm{g/cm^3}}\) reduce sistemáticamente el error BFP-MC. Esto se debe a la consiguiente disminución de la tasa de interacción. Por ejemplo, disminuir la densidad de la placa \(_{92}\)U de \({18,94}{\mathrm{g/cm^3}}\) a \({1,0}{\mathrm{g/cm^3 }}\) reduce el error máximo de \(4.62\%\) a \(2.50\%\) en \(D_{\text {max}}\). El error alrededor de \(D_{\text {max}}\) también se corrige sistemáticamente. Por lo tanto, los materiales de Clase II pueden cumplir el criterio de \(2\%\) en el límite de una reducción de densidad. Sin embargo, la misma prueba no funcionará para materiales Clase-III. Por ejemplo, al disminuir la densidad de la losa \(_{98}\)Cf (de 15,1 a \({1,0}{\mathrm{g/cm^3}}\)) se reduce el error de \(22\%\) a solo \(12\%\) en \(D_{\text {max}}\). Mientras que para los materiales Clase-I y Clase-II, el error BFP-MC es bastante independiente de la energía del haz (Figs. 5, 6 y 7), los errores de los materiales Clase-III son sensibles a la energía del haz incidente.

La figura 8a muestra el error BFP-MC promediado sobre todos los vóxeles para átomos de clase I y clase II en función de la energía del haz. Sin embargo, el error medio sigue siendo poco representativo, dado que en el \(95\%\) de los casos se mantiene por debajo del criterio del \(2\%\). Por otro lado, la Fig. 8a confirma que la desviación MC-BFP es (i) poco sensible a la energía del haz; y (ii) altamente sensible a Z. La distinción del efecto de clase se identifica mejor en la Fig. 8b, que muestra el porcentaje de vóxeles con un error relativo BFP-MC por debajo de \(2.0\%\) en función de Z para diferentes vigas La transición de Clase-I (\(100\%\) de vóxeles) a Clase-II (\(\sim\)30–80% de vóxeles) es obvia alrededor de \(_{59}\)Pr. El gran aumento en el error para la Clase-III y la disminución en el número de vóxeles eficientes hasta el límite de \(\sim 20\%\) también es evidente, en la Fig. 8b, alrededor de \(_{93}\) Notario público. Las excepciones, en particular losas de gas y \(_{32}\)Ge de Clase-I, \(_{85}\)At y \(_{87}\)Fr de Clase-II, se notan en la Fig. 8b.

La Figura 9 muestra los perfiles de deposición de energía del solucionador BFP Dragon-5 frente a los datos experimentales de Lockwood68 y Egs-nrc. Se examinan dos esquemas computacionales Dragon-5; el primero con la biblioteca multigrupo Legacy CEPXS-BFP109 y el segundo con el modo CEPXS en ELECTR. Las medidas calorimétricas de Lockwood están limitadas a haces unidireccionales de 1 MeV. Los puntos de referencia analizados se caracterizan por materiales heterogéneos, de Z alto y medio. Se pueden hacer cuatro observaciones. En primer lugar, las funciones de alimentación CEPXS en ELECTR son equivalentes al código CEPXS-BFP. Esto proporciona una fuerte evidencia de que las secciones transversales calculadas por ELECTR son confiables. En segundo lugar, la diferencia Dragon-5-Lockwood es menor que la precisión de los datos experimentales (\(\sim 2\%\)) para \(98\%\) de los vóxeles (incluidos todos los puntos de referencia). En tercer lugar, la concordancia Dragon-Egs-nrc es inferior a la precisión de las secciones transversales (\(\sim 2\%\)) para \(100\%\) de los vóxeles. Cuarto, hay un acuerdo inesperado para la losa de uranio (Fig. 9d) dado que este átomo es de Clase II (Fig. 7). La concordancia del uranio puede explicarse por (1) la energía del haz (en la Fig. 9), que es muy baja para una clasificación limpia; o (2) la biblioteca G4EmLivermore (en las Figs. 5, 6, 7) podría ser problemática para este átomo. Abordar esta pregunta requeriría una investigación más allá del alcance del presente trabajo.

Un haz de electrones unidireccional de 1 MeV que incide sobre: ​​a) Placas de aluminio/oro/aluminio; (b) Losas Carbone /Gold/ Carbone; (c) Carbono/Cobre/Carbono; y (d) losa de uranio. Las deposiciones de energía experimentales provienen de las medidas calorimétricas de Lockwood68. Aquí, EGSnrc es el código Monte Carlo de referencia. Se muestran dos cálculos deterministas. El primero corresponde a Dragon-5 alimentado con una biblioteca formateada en FMAC basada en el código CEPXS-BFP, mientras que el segundo a la cadena NJOY [ELECTR]–Dragon-5. Las dimensiones se fijan al rango del haz incidente dentro del punto de referencia irradiado.

En este documento, presentamos y validamos ELECTR, un módulo de generación de secciones transversales de electrones multigrupo de última generación en NJOY. ELECTR produce una biblioteca con formato GENDF que contiene: secciones transversales electroatómicas catastróficas totales multigrupo, producción de cascada de relajación, componentes anisotrópicos de Legendre de matrices de dispersión inelásticas catastróficas elásticas dentro de grupo y de grupo a grupo, poderes de frenado suave radiativo y de colisión, Fokker-Planck multigrupo coeficientes de transferencia de cantidad de movimiento, secciones transversales de deposición de energía y carga. Esta validación se limitó al modo CEPXS en ELECTR. Por lo tanto, las interacciones manejadas incluyen: dispersión inelástica de Møller, dispersión elástica de Mott, bremsstrahlung, pero también fluorescencia, Auger, Coster-Kronig y superCoster-Kronig producciones de electrones. El módulo de posprocesamiento NJOY MATXSR se actualizó para formatear la biblioteca GENDF producida en formato MATXS. El solucionador Dragon-5 Boltzmann–Fokker–Planck (BFP) también se actualizó para acceder a la biblioteca MATXS y resolver la ecuación BFP. La validación de la cadena Njoy-Dragon se propuso frente a datos calorimétricos experimentales y Egs-nrc en los puntos de referencia de Lockwood, pero también frente a Geant-4 en los puntos de referencia típicos de oncología radioterápica. Los límites del modo CEPXS han sido reportados irradiando placas desde \(Z=1\) (hidrógeno) hasta \(Z=99\) (einstenio), de 1 a 20 MeV, cubriendo la totalidad de los haces clínicos de radioterapia y radiocirugía. espectros.

Para losas típicas de Z Lockwood altas y medias, las diferencias de dosis de Njoy-Dragon, con respecto a las mediciones calorimétricas, estaban por debajo de la precisión experimental para \(99\%\) de vóxeles. Mientras que para \(100\%\) de vóxeles, las discrepancias de dosis de Njoy-Dragon frente a Egs-nrc estaban dentro del orden de la precisión en las secciones transversales. Para placas de agua homogéneas, para haces de 1 a 20 MeV, todos los vóxeles combinados, el error promedio de BFP-MC fue inferior a \(0.52\%\). De particular interés, \(100\%\) de vóxeles de agua cumplieron con el criterio \(2\%\). Para el punto de referencia del tórax, todos los haces combinados, la desviación promedio de BFP-MC fue \(0.65\%\), \(0.75\%\), \(0.52\%\) y \(0.56\%\), respectivamente, en la primera losa de agua, hueso, pulmón y en la última losa de agua. Precisamente, el 99,2\(\%\) y el 98,4\(\%\) de los vóxeles del tórax cumplieron el criterio de \(2\%\), respectivamente, a 9 y 15 MeV. Se observó una desviación sistemática de BFP-MC en el punto de discontinuidad de la interfaz ósea. Este error se debe a un problema de límite de cruce en el lado de Geant-4 que se puede resolver forzando el tamaño de paso de la trayectoria del electrón. Para un punto de referencia típico de radioterapia intraoperatoria (IORT), todos los haces combinados, el error relativo promedio de BFP-MC fue \(0.51\%\), \(0.96\%\), \(0.00\%\) y \( 0,00\%\), respectivamente, en tejido tumoral, aluminio, acero y tejido mamario. Para todos los haces, \(99.7\%\) de IORT tumor y vóxeles de mama cumplieron con el criterio AAPM \(2\%\). Finalmente, para el punto de referencia similar al paciente de alta heterogeneidad, todos los haces combinados, el error relativo promedio de BFP-MC fue de aproximadamente \(0.56\%\), mientras que, en el peor de los casos, \(97.0\%\) de tejido adiposo , los vóxeles de músculo, hueso y pulmón cumplieron el criterio \(2\%\). Irradiando losas homogéneas de \(Z=1\) (hidrógeno) a \(Z=99\) (einstenio), hemos determinado los límites del modo CEPXS en ELECTR. Además de la excepción del gas, existe un excelente acuerdo BFP-MC (por debajo de \(2\%\)) desde \(_{1}\)H hasta \(_{58}\)Ce. Entonces, a partir de \(_{59}\)Pr, aparece una desviación sistemática alrededor de \(D_{\text {max}}\) (la profundidad máxima de depósito de la dosis). Este error aumenta y se expande con Z, independientemente de la energía del haz. La ganancia del error en la expansión espacial, alrededor de \(D_{\text {max}}\), es de \(\sim 4\%\) (del total de vóxeles) por 1 unidad de aumento de Z de \(_{59 }\)Pr a \(_{92}\)U. El error va de \(2,27\%\) para \(_{60}\)Nd a \(4,62\%\) para \(_{92}\)U. A partir de \(_{93}\)Np, se observa una última categoría para la que los datos de CEPXS ya no son fiables. Todos los puntos de referencia estudiados están en 1D para excluir cualquier sesgo determinista en la validación de la biblioteca multigrupo.

Creemos que se puede lograr una mayor precisión y garantía de calidad con las funciones de alimentación de ENDF, es decir, datos EEDL-2017, EPDL-2017 y EADL-2017. Por lo tanto, un siguiente paso natural es estudiar el rendimiento potencial del módulo ELECTR en el modo ENDF. Se espera que dicha biblioteca corrija las anomalías notificadas, abarque la radioterapia convencional y la planificación del tratamiento con radiocirugía, pero también la modalidad de radioterapia de muy alta energía para tumores profundos. El modo ENDF permitirá utilizar los mismos datos en ambos lados (BFP y MC), lo que abre la puerta a los análisis de sensibilidad y la explicación del origen de las diferencias. Se espera que esta biblioteca cubra una amplia gama de energías desde \({100}{\textrm{eV}}\) hasta \({100}{\textrm{GeV}}\).

Los conjuntos de datos utilizados y analizados durante el estudio actual están disponibles del autor correspondiente a pedido razonable. El código DRAGON-5 y las bibliotecas con formato MATXS están disponibles bajo la Licencia Pública General Menor de GNU (LGPL). El modo ENDF en el código ELECTR también estará disponible bajo licencia de código abierto para 2024.

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Descargar referencias

Este trabajo fue apoyado por una subvención de descubrimiento del Consejo de Investigación de Ingeniería y Ciencias Naturales de Canadá (NSERC), una subvención del programa Experiencia de capacitación e investigación colaborativa (CREATE-481695-2016) en ciencia de ingeniería basada en simulación (Génie Par la Simulation ) y Canada First Research Excellence Fund a través del TransMedTech Institute (ID: 094382). Agradecemos mucho el apoyo incondicional de Charles Bienvenue (IGN, École Polytechnique) durante este estudio. Sus consejos e intervenciones marcaron la diferencia. Uno de los autores (AN) desea agradecer a Yasamin Majedi (Jewish General Hospital, McGill University) y Darren Hall (reactor SLOWPOKE, École Polytechnique) por sus comentarios y correcciones de lenguaje.

Departamento de Ingeniería Física, Instituto de Ingeniería Nuclear, École Polytechnique, Montreal, H3T1J4, Canadá

Ahmed Naceur y Cornelia Chilian

Departamento de Ingeniería Mecánica, Instituto de Ingeniería Nuclear, École Polytechnique, Montreal, H3T1J4, Canadá

Alain Hébert

División de Ciencias Computacionales, Laboratorio Nacional de Argonne, Lemont, IL60439, EE. UU.

pablo romano

Departamento de Ciencia e Ingeniería Nuclear, Instituto de Tecnología de Massachusetts, Cambridge, MA02139, EE. UU.

Benoit olvidar

CRCHUM, Centro Hospitalario de la Universidad de Montreal, Montreal, H2L4M1, Canadá

Jean-François Carrier

Departamento de Física, Universidad de Montreal, Montreal, H3T1J4, Canadá

Jean-François Carrier

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AN revisó la teoría, desarrolló el código y los esquemas computacionales, postprocesó y analizó los resultados y escribió el texto del manuscrito; AH propuso parte del proyecto, revisó la teoría y desarrolló el kernel; PR y JF.C criticaron y discutieron los resultados, identificaron debilidades y propusieron soluciones; BF, CC y JF.C. revisó el manuscrito y mejoró la calidad. JFC proporcionó una estrecha supervisión y financió el proyecto.

Correspondencia a Ahmed Naceur.

Los autores declaran no tener conflictos de intereses.

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Reimpresiones y permisos

Naceur, A., Hébert, A., Romano, P. et al. Viabilidad de una solución multigrupo Boltzmann-Fokker-Planck para cálculos de dosis de haz de electrones. Informe científico 13, 1310 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-27376-y

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Recibido: 12 de octubre de 2022

Aceptado: 02 enero 2023

Publicado: 24 enero 2023

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-023-27376-y

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